CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES SX
mule (61) elle-même permet d'assigner «1(7) une limile voisine. Mais, indépendamment de cette formule, nous voyons que
l'on a
ei — 63
car, à cause de 6,4-62 + ^3 = 0, cette inégalité se réduit à la supposition eo <C o ; par conséquent, on a aussi
Il en résulte que, dans les cas les plus défavorables, c'est-à-dire ceux où / est voisin de cette limite, on aura déjà q avec une erreur
moindre que — - ^n prenant, comme approximation de rj, la racine a; de l'équation
— '- Ix'*,
dont le développement, d'après la série de Lagrange, est
^ = ;,-^"(0''-^'Kr'
^n( \n —\)(\n — 9,) . . . (4 « — n -^ 1) /IY"+^
Le développement de q lui-même diffère de celui de x à partir du troisième terme inclusivement. On voit effectivement par la formule (61) que le coefficient de ce terme sera diminué d'une unité. Les quatre premiers termes sont
Avant calculé q, on calcule co, par la formule (63) . /'•^ ^ ^-\-1g''-^1q'''-^... ^
Pour le cas (B), où £,'3 est négatif, on n'a cpià changer ici
(1)3 d, Co, e-i en — 63, — Co, — e,, et co, en -.- •
Calcul de ii, connaissant pu. Cas A>o.
Il s'agit maintenant de calculer u connaissant pu. Nous supposerons, comme cela se présente dans les applications, pu réel. Il V aura lieu de distinguer quatre cas suivant la place de pu dans les intervalles marqués par les nombres — 2C , (?3, ^o, e, , -h 30 .
i" pu'^e^. — Nous avons, d'après les formules (69 A)
— V ei — e-2 C;
q cos-iVT: -^ q^ cosSvT. -^. . . n
Le premier membre s'exprime immédiatement par les données, et si l'on pose
T v'ei — «3 Vp « — «2 — v/ei — e, \/pu — e^
■^ v'^i — ^3 VP u — e^ — v'ei — Ci \/p u — e^
on a l'équation 5 =: Q.
Il existe des valeurs réelles de ?/, donc aussi des valeurs réelles de r. Les cosinus qui figurent dans Q sont donc moindres que l'unité, en valeur absolue. A cause de la petitesse de q, on a déjà cosiv~, avec une erreur relative moindre que nrôWô' ^^ prenant
COSIV- = - • '7
Il sera aisé d'obtenir ensuite autant d'approximation qu'on pourra le désirer. Avant calculé r, on aura les valeurs de u
u ^ ± iijiiV -^ im wi -i- 2«oj3,
m et n étant des entiers arbitraires.
2" 63 <^pu << e^. — Nous traitons maintenant ce cas, comme étant plus semblable au précédent. On y emploiera encore la lormule (64), mais en remplaçant u par u — 0J3. Nous avons
pu — €3
par conséquent,
pu
CHAPIinE YlII. — LES SÉRIES 3r. 278
En faisant donc
2 ^ei — pu -i-y/ei— 62 vei~e:i
on aura, pour déterminer r, l'équation 5'=Q, d'où r se tirera comme précédemment. En effet, pu étant entre e-2 et e-^, il existe, pour (u — CO3), des valeurs réelles. On aura ensuite
w = dr 2t0it^ -^ 2mcoi-H (art — 1)0)3.
?j° pii<.("3- — On se servira encore de l'égalité (64), mais on aura soin de changer, dans 5, y/j3M— ^2, \^pii — ^3 en ye^ — pu, \/ e-i — p«. Ici l'équation 5 ^ Q doit donner pour v de's valeurs purement imaginaires. Les cosinus se changent en des cosinus hyperboliques. Si l'on fait r = a', on aura à remplacer partout, dans Q,
cosinvr: par •
Parmi les déterminations de-' il en est une qui est réelle et, en
valeur absolue, moindre que-^- Le maximum de cos2/h'- est ainsi -f— -h'/")- La première approximation de cos2f-, c'està-dire -j dans les cas les plus défavorables, où pu se trouve peu
inférieur à 63, donne ainsi une erreur relative sensiblement égale à 2^' cos4i ~ ou q-, moindre que ^. Mais, en ce cas, on peut employer 5' au lieu de s, de manière que : — - soit compris entre
zéro et -^> et cos4t'~ moindre que-( ^^J* La première approximation donne alors une erreur relative moindre que ■ ^ ' ^ ^ . Ainsi, dans ce cas pu<iei, il conviendra d'emplover lune ou
l'autre des équations s=0 ou s' ^^ Q, suivant que -> compté dans l'intervalle (o, ^ 1 j sera dans la première ou la seconde
moitié de cet intervalle. Si l'on procède ainsi, la première approximation donne touiours une erreur relative inférieure à . ' .. .
