CHAPITRE VUI. — LES SÉRIES 2?. I-JO

marquer que les circonstances peuvent s'j trouver moins favorables au calcul. Les quantités^', g" ont, comme q et^,, e~~pour maximum; mais ce sont leurs racines carrées qui remplacent q e\. q,,. La base des calculs d'approximation est donc ici

e î =0,20787937..., et non plus

e-~ = o.ojSai ....

L'autre part, la quantité /', qui remplace /, a pour expression, dans le cas des formules (C),

v'ea — «3 — v^2 — ^1 -^

L'angle 'i>, compris entre zéro et?:, est l'argument de la quantité complexe (eo — <?;,). Comme la somme (<?, H- Ci-f- e-i) est nulle, la partie réelle commune à e, et à ^3, est — ^e^ en sorte que 0 cos'J>, partie réelle de (^2 — 63), est^eo. Elle est donc positive ou négative suivant que go est positif ou négatif, et '\i est compris entre

zéro et - dans le premier cas, entre - et -, dans le second. C'est 2 ^ '2

dans le premier cas qu'on emploie de préférence les formules (C).

et /' a pour maximum tang-^"? c est-à-dire ^/2 — i =o,4i42i

Dans le cas des formules (D), on emploie la quantité /",

.(67 a) l" = ■ '^ ^ - = t.Rng — y^ ,

^ \lcï — e-i — yci — e^ 4

déduite de /' parle changement de e(, e^, 63, en — e-^, — eo, — e,; elle a aussi, quand e^ est supposé négatif, pour maximum \''i — I .

On voit que, dans l'application des formules (C), (D), les quantités à employer peuvent être moins petites que pour le cas du discriminant positif ; mais elles sontencore assez petites pour assurer le succès du calcul par l'emploi de la formule (62), dans laquelle / est remplacé par /' ou /", et q par ^ (/ ou \/q" .

On peut d'ailleurs, en appliquant les formules (A) et (B) au cas du discriminant négatif, retrouver pour le calcul les mêmes avan-

tages. Mais on opère alors sur des quantités complexes. C'est ce que nous allons expliquer.

Raisonnons sur le cas où e.2 est positif. Les trois quantités e,, ^2, 63 étant représentées sur le plan par trois points de même nom (fig. 5), l'angle d» est le demi-angle en Co, dans le triangle isoscèle

formé par ces trois points. Il est inférieur ou supérieur à -^ sui-

Fi£

vaut que le coté e^e-^ est inférieur ou supérieur aux côtés égaux 626), 6063. Le carré de la longueur (?oei ou «ïo^s? c'est le produit des deux quantités conjuguées (eo — e))(<?o — gj). Le carré de la longueur e, 63, c'est — (e, — 63)-. On a donc

en même temps que (^2— ^i)(^2 — ^3) -^ (^1 — ^3)" < o-

D'ailleurs

(«2— ei)(e2— e3)-^(ei— 63)^= e\-\- e\-^ e| — (61^2— 61^3 + 6,63)

donc '\i est inférieur ou supérieur à - suivant que ^2 est positif ou

négatif.

Dans le cas où nous raisonnons actuellement, e2> o, c'est-à-dire gi ^ Oî si ij"2 croît à partir de zéro, nous savons déjà (Chapitre III)

que ^— - croît à partir de y 3 ; par suite, nous avons en même temps

a' ' P.-nV3.

l'< tan'

gi'^O,

>.yi -t- \/3 — a — v/3 = o,i3i. .

Les maxlma de \J q' et de /' sont encore supérieurs à ceux qu'on avait pour q el l dans les cas du discriminant positif; mais ils sont sensiblement inférieurs à ceux que nous considérions tout à l'heure.