CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Si maintenant g^ est négatif, on va voir qu'en prenant les formules

(A), on aura pour q et pour /, en valeur absolue, des quantités

moindres aussi crue e - et tanjr —

Soit 7'= /a le rapport to!, : coo, nous avons . 0J3 . 1 — i'a . a^ — I a — m """' —ot: — ^

IT. = IT. r-= — ÎTT— 27:— , 0 = 6 ^'^^e Ct^ + l.

La valeur absolue (module) de q est e «'^i. La quantité -^ — • décroît constamment quand a croît à partir de l'unité. Or nous savons que, dans ce cas gi ^ o, si g-^ est négatif, le rapport -1-^ =z a est compris entre i et \/3 (Chapitre III) 5 à ces deux

limites extrêmes correspondent pour les deux limites i et

^ y/s. Donc la valeur absolue de q est comprise entre e""^ et

Pour calculer alors q par la formule (60), il faudra seulement savoir de quelle manière prendre y^i — ^3 et ve, — Co. Or la formule nous l'apprend elle-même, car on en tire

A cause de la petitesse de ^, la partie réelle du premier membre, peu différent de 1+4^, est positive, et la partie imaginaire est négative. Effectivement, -^^— étant compris entre zéro et ^, l'argument de r/, savoir — 77 — -, est lui-même entre zéro et — -• On

voit par là qu'après avoir choisi ^ ■> comme précédemmeni,

pour l'argument de V^i — 'Co, il faudra prendre ~ pour celui de

Pour le cas où, au contraire, e-i est négatif, on voit parle changement de Cl, C2, Cj en —63, — ^2, — c,, que les formules (D)

1 r donneront cf limité à e 2 ^ quand ^o sera positif. Si maintenant ^2 est négatif, on pourra employer les formules (B) dans

278 PREMIÈRE Partie. — théorie.

lesquelles alors q^, sera imaginaire et, en valeur absolue, compris

entre e " et e -

Calcul de », connaissant p«. Cas de A < 0.

Le calcul est analogue à celui qui a été indiqué pour le discriminant positif. Raisonnons dans l'hypothèse ^3>>o, cas où Ton doit employer les formules (G). Nous ferons usage de la formule suivante, tirée de (oy C)

T \J en — e.-j 3'] u — \J e=i — e\ 3";, u

v \ -^ iq- zoi \VT, — iq'^ co^'6v- -T

Soit maintenant

'^ '■ V ^2 — ^3 \/p II — ei^ \/e.2 — ei /p u — 63

c'est une quantité réelle, quand on a eu soin d'y prendre, comme

on le doit, pour v-'go — ^3 et vco — (?i , pour \ pu — Ci elyj)« — e.j, des déterminations conjuguées.

Si pu est supérieur à e-2, il y 0. pour u et, par conséquent, pour ç, des déterminations réelles. L'équation 5 = Q' servira à déter-

miner la quantité r, et la première approximation cos2c^7r= - —

comporte une erreur relative inférieure à 2//'- dont le maximum, correspondant à ^'= e~'^= o,o43 . . . , est moindre que o,oo4- Ayant une valeur de c, on aura

H = =r 2 too p ^ 2 fu (,0i ^ 2 n 0)3.

Si p u est inférieur à e-y, il y a pour u et pour t' des déterminations purement imaginaires. Il est nécessaire de distinguer deux cas, comme il a été utile de le faire pour le discriminant positif.

La quantité Q', où nous mettrons en évidence l'argument p, a pour expression