CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Observations sur les cas particuliers où ^ a les valeurs

e-"!^, le - , le -

Il n'est guelfe possible de ne pas s'arrêter un instant pour signaler les cas particuliers que nous venons de rencontrer, et réunir les formules où la transcendante numérique e~'^joue un rôle si curieux. C'est l'égalité (60)

- - Tl i/3

qui se recommande d'abord à notre attention. Nous avons trouvé cju'elle est vérifiée de ces trois manières

/ '^^2 — I 10 /=^ • avec g = e~^ ;

■20 / = i(v/2 — i) avec g

30 / = 1(2 \/2 -1-/3 — 2-/3) avec q

La formule

'"'" ~ Ta i — 3g-^-{-5g^~yg^-'-h...^( — iy"('2m-^i)q'"^'"-^^K..

n'est pas moins intéressante dans ces cas particuliers. Dans le premier, on a

(x> = ioj, T| = - r,, Tjco = — T, oj, -/-(Oj — Tj co = 2 tr,a) = — ;

par conséquent

1° Tjw = '-^ avec g = e-"^.

Dans le second, nous aurons de même

0), = £0)2, T, 2 = - '^2j M ^2 = '-T, 2^2^ '',2 "2 — ^,0^2= '^ ''''li ^2 = *~ >

par conséquent

2° r.w == - avec a = le - .

Dans le troisième cas, ainsi qu'on l'a déjà vu au Chapitre III

(p. 83), en désignant par 0 une racine cubique de l'unité

on a d'abord

W2=iW2v/3j 0)1= OcOo, 0)3 = O'-Wo.

Les relations d'homogénéité, en ce cas particulier, donnent, sans changement des invariants [g-2 étant nul),

::ii= 0^(6;<), T,,= >i = — r(0'.o,) =— 62^0, = — o-^r,,,

r,3 = rW3 = — ^( 02 OJ2) = — 6>o = — fJT,2, r,i(03^ ^'f,2'~'^ii ''',3^1= '^'"'",2^2,

— = r,! 0)3 — '/"ijo)! = (6 — '^■)'^2^J2 = i V 3t,2 (0-2 ;

donc

1 /i" roj = — avec a ^ le -

Il faut remarquer enfin, avec cette dernière valeur de q, la formule analogue à (03), donnant la période ojo. Nous avons ici

s/e-i — e3 = \/pe-*, \' e^, — e, = vpe "^

sj'e-i — e3-^{e.2 - ei = 2 yjp cos ^ , *

Ici p désigne la longueur ^i C3 (y/i?'. 5. p. 2j6), coté du triangle (?) ^063, équilatéral en ce cas particulier. On a donc, pour la hauteur de ce triangle, l'expression

go = ^ — p, s = e, v/3 ; 9. ' 2 '

et par conséquent (58 C)

2 v'S \J e» cos —

Prenons ^3 := 4j avec ^o = o ; alors (<?o étant égal à l'unité) on a

I r" dr

•^ Ji /^3 — i

y/ï cos -^ • 4 / -^ = I -I- 2<7'--^ 2<7'*-T-. . .-i- iq'^"--^. . . {(/' = e-~^^)'