CHAPITRE YllI. — LES SÉRIES Ht

Comme e-"s * est égal à 0,0042. . . , on a déjà l'intégrale définie (jOo avec une erreur relative moindre que fôi'ôô ^^ négligeant tous les termes du second membre, sauf le premier, et prenant

2 v3 cos2 -1

Expression de ^2 par les fonctions S. Remarques.

Nous avons employé, dans les calculs, les racines e,, e-2, 63, et non les invariants. Mais on pourrait aussi se sei'vir de ces derniers. Déjà nous avons obtenu l'expression de A. Pour obtenir ffo, prenons la formule déjà utilisée (p. 276)

f ^2=(^2— ei)(e2— e^)-h(ei—e3y-.

Par le moven des expressions (4^)? nous en déduisons

V 2 oj /

Mais la première identité (4o)i ses deux, membres étant élevés au carré, donne

Éliminant le produit 'xiI'xjI, nous concluons

On doit observer que, par sa nature, g2 reste inaltéré quand on échange les indices des racines e^ ; en conséquence, l'expression de ^•■2 par les Xj doit rester inaltérée quand on change les périodes. C'est, en effet, ce qu'on vérifie immédiatement sur l'expression

(70) : les égalités (55) font voir que, dans ces changements, les trois

quantités ^ se reproduisent, sauf l'ordre. Leur somme reste donc

inaltérée. Même observation sur l'expression trouvée déjà pour le discriminant A, et que nous reproduisons ici

(71) «/!= Li 7^3;;.

Voici maintenant la remarque que ces égalités (70), (71) suggèrent. Elles nous présentent les coeflicicnts d'une équation du

troisième degré exprimés en fonction explicite et non ambiguë, d'un paramètre q et d'un facteur d'homogénéité to. En même temps, les égalités (45) nous donnent les racines de l'équation exprimées aussi en fonction explicite et non ambiguë de ce paramètre q et du facteur d'homogénéité. Comme on l'a vu au Chapitre IV, on obtiendrait maintenant des faits tout pareils pour une équation du quatrième degré, avec l'introduction d'un paramètre de plus, l'argument t\ Ce sont là, en Algèbre, des faits nouveaux, analogues cependant à la résolution trigonométrique de l'équation du troisième degré. Nous en verrons encore de semblables dans les applications géométriques et dans la théorie de la transformation.

Fonctions elliptiques à invariants imaginaires.

Nous n'avons jusqu'à présent considéré les fonctions elliptiques que dans le cas où les invariants sont réels. Dans le présent Chapitre, ce cas est caractérisé par l'existence de deux demi-périodes, l'une réelle, l'autre purement imaginaire. Mais, pour ces cas mêmes, nous avons été conduits à envisager les fonctions 2r formées avec d'autres demi-périodes. Rien ne s'oppose à une généralisation complète. Prenons deux quantités quelconques w, to' dont le rapport soit imaginaire, et, observant que les parties

réelles de -r- et de ~ sont de signes opposés, prenons-les dans

l'ordre tel que v— ait sa partie réelle positive. On formera, par leur

moj'en, une quantité q dont la valeur absolue sera inférieure à l'unité, et des séries 27 convergentes. Par les formules ci-dessus, on déterminera les constantes /j, r/, C), e^, 63, et la fonction du. Celte dernière vérifiera l'équation à trois termes, et l'on en déduira une fonction pu, qui, sauf les propriétés relatives à la réalité, jouira de toutes les autres propriétés reconnues jusqu'à présent. Nous pourrons donc, dorénavant, raisonner sur ces fonctions plus générales; néanmoins nous aurons encore à relever des détails de calcul particuliers au cas où les invariants sont réels. Ce cas se présente uniquement dans presque toutes les applications. Nous allons encore étudier une question très simple où les invariants sont essentiellement réels.