À, IX, V = I
Faisons croître u depuis zéro jusqu'à co, ; pu décroît constamment de + co à e, ; par conséquent, chacune des quatre dérivées secondes envisagées ici varie constamment dans un même sens, à
savoir -7— logj« et -7— loga'.zi, la première comme — pu, la se-
du' ° au- o - ^ i 'I '
conde comme — ? c'est-à-dire en croissant: les deux autres comme
pu
, c'est-à-dire en décroissant. Prenons maintenant l'égalité
suivante, déduite de (09 A),
où, bien entendu, l'indice zéro pour :;" doit être supprimé, et l'indice 4) pour i^, remplacé par zéro. Concluons que, t' croissant de
zéro a :^, -.— log.:?) r, -y-, log^^gc croissent constamment, et les
deux autres décroissent. D'ailleurs
dv'- dv \ .3it'/ ^\V \~'i'
La dérivée 'b\ (', dont le développement ne contient que des cosinus de multiples impairs de -c, est nulle pour v = ^\ en même temps
S7i(î)= avy (1 — 7- +7'"' -^7'- -^•••)»
ont tous leurs termes, le premier, positifs; le second, négatifs. Donc -,-- loe:.37i (^ est né^jatif pour (' = ;;, oii il parvient en croissant.
Donc cette fonction est constamment néirative. Donc W^ est con-
slamment décroissante; mais sa dernière valeur est zéro; cette
fonction est donc positive. D'ailleurs 37| r, comme cfu, dont elle
diffère par un facteur positif, est positive; donc .5, c est positive;
donc 2?) i' est constamment croissante. A cause de la relation
3i(f -f-i) = — ?Jiv
et de la circonstance cpie '^\ç est nul pour (' = ^, on voit que la fonction S, v varie d'une manière tout à fait analogue à celle de la fonction sinp-. En même temps, la fonction ."^o^" ^^ ^i (^' + ^) varie absolument comme cosct:.
La fonction 2<3(', comme îjoW, ne devient jamais nulle pour des valeurs réelles de l'argument et reste toujours positive. Sa dérivée, dont tous les termes contiennent des sinus de multiples pairs de
ÇT., est nulle pour c = o et ç = ^. Donc, v variant de zéro à ~, ^~-
[)art de zéro et y revient, passant par un ou plusieurs maxima ou
minima. Mais sa dérivée -7— lo". 3^3 p croît constamment: donc la
fonction passe par un seul minimum, sans aucun maximum. Donc ^'r^ç est négative; donc ^sV est décroissante. Cette fonction a un maximum pour c = o, un minimum pour v z= ^\ elle est analogue, entre ces deux valeurs, à un arc de sinusoïde, et se reproduit ensuite de part et d'autre, comme le montrent les égalités 1^3 ( (' + I ) = .^3 p et Ss ( — v) = .S73 ('.
La fonction .'^0 <' = '^■i{'>' + ^) suit la marche inverse.
On voit cpic l'allure de ces deux dernières fonctions est semblable à celle des deux fonctions i± iq cos2('t:, où q serait sup- |)0sé compris entre zéro et ^. Cette circonstance est d'autant plus remarquable que la quantité q, dans les séries 37, peut recevoir toutes les valeurs de zéro à l'unité; pour les valeurs de q supérieures à I, la forme même des séries laisserait difficilement apercevoir la régularité des fonctions.
Deuxième cas : q purement imaginaire. — Il faut ici considérer, non plus .^) V, mais son quotient par \q, qui ne contient plus que
