CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

des puissances paires de q^ et se trouve ainsi réel; ou encore

e * .^) <', qui diffère de ■i u par un facteur positif (Sq C). Quand c varie entre zéro et :^, a varie de zéro à ojo, 'i a part de zéro en res-

tant positif, et de même e * 3;, v\ pour c ^ -^ la dérivée est nulle, un maximum ou un minimum est atteint. Prenons la dérivée seconde en posant, comme dans les formules (C), q = ^ V^^'i ^'- ^o^" lons-la à zéro. Mettons alors x au lieu de q\ et nous avons l'équation

iji) I — 937 — 25.^5^- 49ar''' — Sia:-!"-^. . .-r- (i /2 -4- i)2(— a:-) ^ . . . = o.

Cette équation a une et une seule racine x, comprise entre zéro et l'unité, ce qui sera prouvé en toute rigueur au Chapitre XIII, et la forme (72) permet de la calculer avec six décimales exactes au moyen des quatre premiers termes seulement; on trouve

Avant d'adicurs

nous vovons que cette quantité est négative quand q est moindre que x^ positive dans le cas opposé. Dans le premier cas, la con-

clusion est la même que pour q réel : -^ ^'^o'-^i *' J^arvient, en croissant toujours, à sa valeur finale qui est négative; cette quantité est donc toujours négative; ~— décroît, et, sa dernière valeur

étant zéro, cette fonction est positive. Donc e ** .:î| (^ croît constamment. Mais, dans le second cas, quand q surpasse x^ les faits

sont très différents: -r— loir!^, v croît, comme précédemment, de-

puis — 00 ; sa valeur finale étant positive, cette fonction passe ])ar

zéro lîour une certaine valeur de c; soit r, cet arj^ument. Alors v-*—

décroît de ^^ = o à t^ = (^,, puis croît de t» = t'i à (^ = ^. Comme la valeur finale de cette fonction est zéro, la valeur initiale -{-oc ,

tT— passe par zéro pour une valeur de v = To inférieure à t',. Donc

enfin e " 3, p croît de i' =^ o à t^ = (^o? p^iis décroît de i> = Co à

'''^ p = i. La fonction e ^ ^2^ suit la marche opposée.

Nous ne devons pas envisager les fonctions .373 1' et ^^v, qui sont

imaginaires conjuguées, mais leur somme et leur différence. Or il

suffît de jeter un coup d'œil sur les expressions de ces fonctions

pour constater l'exactitude des deux relations suivantes, qui jouent

un rôle dans la théorie de la transformation :

Ayant ici remplacé q par i\/q' et observant que ^^{v, q) contient le facteur \Jq^ nous concluons

27:j V -^^^JqÇ = Q. 2-3 ( IV, <7'2 ), - (2^3 P— SToP) = 2272(24', q'-).

Comme q'- est réel, la marche des fonctions nous est connue : la première décroît constamment de r = o à c = |, puis croît de p = |àp = ^; la seconde décroît constamment de ^' = o à ^^ = j.

Dégénérescence des fonctions elliptiques.

Les formules qui viennent d'être développées fournissent très facilement les expressions limites des fonctions et des invariants quand le discriminant tend vers zéro. C'est ce qui a été annoncé à la fin du Chapitre IL

On obtient les cas de dégénérescence en supposant infinie une des périodes; c'est alors que les fonctions elliptiques se changent en fonctions circulaires ou exponentielles. La dégénérescence est plus complète encore si les deux périodes deviennent toutes deux

infinies; c'est alors que pu se réduit simplement à — - (p. 28).

Examinons d'abord le premier mode de dégénérescence. Il n'y a plus lieu de distinguer ici plusieurs cas suivant les signes des invariants, et nous pouvons même envisager le cas le plus général, celui où les invariants sont imaginaires.