P(U)-]HU;G2,G
(3o) p{u;ff,,ff3) = [J-pliiVlJ-; ff' ^V
Ici intervient le théorème d'addition, dont nous donnerons tout à l'heure une démonstration directe et qu'on peut résumer en disant que p(u -f- c), p' ( u -f- '') s'expriment par une fonction rationnelle de pu, p'u, pi', p'v.
En même temps cjue pu = p{u; ^o? g'a), envisageons
pu = U{U\ g.2, —.^3),
Jonction qui n'a pas besoin d'être définie de nouveau. Elle ne diffère de la précédente que par le changement de g-^ en — ^3. Le seul effet de ce changement est de changer aussi les signes des trois racines e,, Co, ^3, qui deviennent ainsi — C), — Co, — 63. Si les trois racines sont réelles, alors la plus grande est maintenant — e 3, l'ordre primitif étant supposé Ci<ie.2<iG\- En conséquence, la demi-période de pu est définie, comme oj, par une intégrale étendue de — (^3 à -f- X . La désignant par -^j on aura
0/^ ç^- dy r^-
dy
v/(7 -T- C3 ) (JK ^ «2 ) (7 -^ ei )
La formule d'homogénéité (3o) conduit maintenant à prendre jiour définition de p{iu)^ avec u réel,
ji(m) :=— pu, p\iu)= i p'u:
puis, pour définition de p(rt-l- i'a), on adopte celle que donne le théorème d'addition^ et l'on démontre que les fonctions j3«, p'u, ainsi généralisées, jouissent de toutes les propriétés reconnues pour l'argument réel. C'est ce qui a été fait dans ce Chapitre.
On ne peut manquer d'observer que cette analyse résumée s'apj)lique parfaitement au cas où les trois racines g), eo, ^3 ne sont jilus réelles, mais une réelle et deux imaginaires conjuguées. La seule différence consiste en ce que, dans ce nouveau cas, le chan-
geinent du signe de g^ ne substitue plus — e^ à. et, mais substitue à l'unique racine réelle cette même racine changée de signe. Cette circonstance amène quelques différences de détails, qui seront examinées dans le Chapitre III; mais on voit, dès à présent, qu'il n'existe pas de différence essentielle entre les deux cas, celui où les trois racines sont réelles, le discriminant positif, cas envisagé jusqu'à présent; elle cas nouveau où deux racines sont imaginaires conjuguées, la troisième réelle, le discriminant négatif, cas qui fera l'objet spécial du Chapitre III.
Nouvelle démonstration du théorème d'addition.
La démonstration suivante, qui fournit immédiatement le théorème d'addition sous la forme simple et élégante (I, 25) déjà envisagée, est un cas particulier de celle que nous reproduirons au Chapitre VII pour le théorème d'Abel.
Soit à déterminer u par l'équation
apit -^b = p'u, où a et b sont des constantes données. Prenons pour inconnues (3i) ^ = pn, y = p'u.
Les équations du problème sont
(32) ax^h^y, y'- ^= ^x'^' ^ g-ix — g:i\ d'où résulte la résolvante en x
(33) ¥ {x) = ^x^ — gîx — gi— {ax -^ bf = 0,
qui a trois racines .Tq, Xi, x.y, à chacune desquelles correspond un seul argument, sauf des multiples des périodes ; soient Wq, Ui , u-i ces trois arguments. Chaque groupe (x^, j>, Ur) varie avec a et b et dépend de ces deux variables suivant les relations (3i), (Sa), (33), où il faut supposer chaque lettre .r, r, u munie de l'indice /■. Si l'on fait ainsi varier «, b, ^{oCr) sera identiquement nul et, oar suite, sa différentielle totale sera nulle aussi. De là provient l'équation
F'(Xr)dx,.-. ^—^da-^ r^-^rf6 = o.
da db
CHAP. IL — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 5Cf
Mettons pour les deux dernières dérivées leurs expressions explicites et remplaçons (aûTr-i- b) par jv, suivant (32) :
F' (x,.) dx,~ 'i.yr{x,. da 4- dh) = o, da -r- ™- r db.
D'après un théorème attribué à Euler, les deux sommes
F'{xo) F'{x,) F'{x,y F'(^oJ ■ F'(^i) ' F'(r,) sont nulles ('); donc on a
dxo dxi dxi
ce qui, d'après (3i), se change en
dU(,-~ dui -^ dui = o,
i/o H- i<i -4- i<2 = const.
Il suffit, pour déterminer cette constante, de supposer a et A infiniment grands, leur rapport ayant une limite finie quelconque. Alors une racine puo devient infinie, les deux autres égales entre elles, et l'on a, sauf une période,
Ui, = o, «1 = — 11-2, i'u-r- Ui -7- 11-2 = une période.
Donc la somme des trois racines ii est égale à une période. De la relation (32), en y substituant successivement ?/o? «i- ft^i on lire ensuite les formules (I, 25), comme on l'a fait au Chapitre I.
Sur la liaison entre les invariants et le module.
Nous avons, au Chapitre I, exprimé les liaisons entre les invariants et le module par l'intermédiaire des racines <?,, e.2, 63. Il est
(') En effet,
ax -h '^ .a57„-l- p (XX, -h^ a.x.^-h<^
F{x) {x-x,)F'{x^) {x-x^)F'{x^) ■ {x — x,)F'{xJ Multipliant par x aux deux membres et supposant x infini, on a
ax„-hf> aa?, -t-p ax.-h'^
intéressant de faire disparaître cet intermédiaire. Voici les relations obtenues :
Vhey = 'i — k'-, 3Xe2=2Â-2— I, 3X^3 = — (i — A-^); fr-2 = — 4(^1^2-^ e2<?3-T- «"3^1), g3 — [eie^ez. De là résultent ces expressions pour g^ et ^3
puis la suivante, indépendante de A,
C'est ici le lieu de faire connaître une propriété des deux polynômes formant les termes de cette fraction. On en peut former une combinaison linéaire qui soit un carré parfait, comme on le voit par l'identité
4(1 — /.-^ ^ k'*y—(\ — /r-y-(i — /.■2)2 (i — 2/.-2)2 = 27ÂH1 — /.-)-.
Pour vérifier cette identité, il suffit de remarquer que les deux membres sont, l'un et l'autre, des polynômes du quatrième degré en À"- (les termes en Â'- et A"^ disparaissant au |)remier membre), et que ces deux polynômes sont égaux entre eux pour cinq valeurs de A-, savoir o, i, — r, ^, 2.
Se rappelant la définition du discriminant A,
\ — .rî 5- rr2
on déduit de lidentilé ci-dessus les rapports égaux
Les rapports mutuels de g^, ^ij, A ne dépendent pas de À, mais seulement de A- : ce sont des invariants absolus. Pour voir comment ils varient avec A-, nous allons considérer leurs dérivées, dont les expressions sont fort remarquables. On va les trouver comme il suit.
Pour avoir plus de symétrie dans les calculs, prenons les trois polynômes
B == (y -r- x) {-iy — x) (y — 2x), C = xy(y — x),
CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOURLE PÉRIODICITÉ. Cl
qui coïncident avec les trois polynômes (34) si l'on suppose )'= i , X = /."-. Ils donnent lieu à l'identité qu'on vient d'établir
Dénotons par les indices i et a les dérivées partielles de ces .polynùmes par rapport à x et r ; ainsi
dx ' dy ^ dx
En différentiant dans (35), on a
12A2 A) — 2BB] — 54 GC] = o, 12A2A2 — 2BB2 - 54 ce. = 0; d'où résulte
B,C.— ÇB, C1A2 — A1C2 AiBo — B,A, 12 A- — 2B — 54 c
Dans chacun de ces rapports, les deux ternies sont d'un nièuic degré, 4 pour le premier, 3 pour les deux autres. Les dénominateurs n'ont aucune racine commune ; donc ces rapports sont égau\ à une constante indépendante de ^, J', et il suffît de supposer, par exemple, x =:J', pour reconnaître que cette constante est égale à — I . Ainsi
(36) I GiAo — A,G2 = 2B, ( A1B2 — BiA2= 54 G.
A cause de l'homogénéité en x^y et des degrés de A, B, C, on a, en supposant maintenant j' = i,
A2H-Ai.r = 2A, B24-Bi.r = 3B, Co^Gi^r^SG.
Substituons dans les relations (36) et, au lieu de A,, 13,, C|, mettons A', B', G', dérivées prises par rapport à la variable unique x ; nous aurons ainsi
GB— BG' =— 4A2, 2AG' — 3GA'= 2B, 3BA'— 2AB'= 54 G et, par conséquent,
