DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS ET AUX PÉRIODES

Dérivées de pu par rapport aux invariants. — Calcul direct des dérivées de pu par rapport aux invariants. — Dérivées de tu par rapport aux invariants. — Dérivées de z'u par rapport aux invariants. Équation aux dérivées partielles.

Développement de ru. — Remarques sur l'opération D =12^3— -h - gr, -—•

— Dérivées de r^u, r^u, ^3?^ par rapport aux invariants. Équation aux dérivées partielles. Développement suivant les puissances ascendantes de u (seconde méthode). — Dérivées des périodes par rapport aux invariants. — Dérivées de T, par rapport aux invariants. — Observations sur les équations aux dérivées partielles qui sont vérifiées par les fonctions r. — Équations hypcrgéométri- ([ues avec l'invariant absolu pris pour variable indépendante. — Applications :

limite de- quand le discriminant tend vers zéro; variation de — (luand le

discriminant est positif. Exercice. — Dérivées par rapport aux périodes. — Dérivées par rapport à \o^g. — Équation aux dérivées partielles vérifiée par les fonctions S?. — Expression des fonctions ^ par les fonctions 3'. — Équation aux dérivées partielles pour le calcul de la fonction 4* ,.(")• — Sur un système d'équations différentielles.

Dérivées de pu par rapport aux invariants.

La fonction pu dépend de trois variables u, g'2-, g'i- Jusqu'ici notis avons envisagé seulement sa dérivée par rapport à u. Nous allons considérer maintenant ses dérivées par rapport aux deux autres variables. L'homogénéité permet d'écrire immédiatement une relation entre les trois dérivées. En efiet, pu est homogène, du degré 2, quand on considère u comme du degré — i, ^2 et g-^ des degrés 4 et 6. Le théorème des fonctions homogènes fournit donc l'égalité

0 pu , dpu „ dpu

(') Le sujet de ce Chapitre offre Je plus grand intérêt au point de vue de l'analyse. Il est cependant de peu d'usage pour les applications, sauf toutefois les formules (3-) et (3fj).

292 PREMIÈRE PARTIE. — TUÉORIE.

Par l'emploi d'un artifice très simple, nous trouverons une seconde relation entre ces dérivées, et le problème sera résolu. Néanmoins, comme le calcul direct de ces dérivées offre un des meilleurs exemples de la méthode d'intégration expliquée au Chapitre VII, nous ferons ensuite ce calcul direct à titre d'exercice.

Le point de départ est fourni par l'équation fondamentale

En dérivant par rapport àchacune des variables ^«o, ^3, on obtient

, , , ^" <^o3 "ai ^Sz

' , à- riu , f) p II ,, () p II

au dff.2 ^ •' ^-' ôg^ ^ '' c/^2 '' Observons maintenant l'égalité

d ( I dytu\ \ à'^ p II p" Il '^ p II

{p'ii dg-3 ) \p'ii Ogi )

Ou

■xp'Hi

()ii\p' Il ôg j pu ùii dg p'-u dg '

divisons, dans chacune des égalités (2), les deux membres par ap'-z/, et nous obtenons

Le problème consiste donc à intégrer, par rapport à w, les seconds membres des égalités (3). C'est une question pour laquelle^ au Chapitre YII, nous avons étudié la méthode à suivre.

Vérifions d'abord la relation d'homogénéité (i) par le moyen des égalités (3). La relation (i) fait voir quelle est la dérivée à considérer; c'est la suivante :

Ou \ p u j P' u p - u

De là et des égalités (3) on déduit

() ( pu \ , ù ( \ dpu\ „ à ( ^ dpu\

— 2 —, h in = 4 •?"•' T- 1 — ; '■ — -i- 6 .^-s -— ( —, 7 — 1

Ou \ p u / Ou \p u Og=, J au \p u OLfz I

, rr 'Lui! 6 "• -i^

ou p'u\^'' Og, ' *' Og3

CflAPlTRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 298

Ces deux fonctions, ayant même dérivée par rapport à u, ne diffèrent que par une constante. Il semble d'abord qu il v ait quelque emljarras à déterminer cette constante par l'emploi de la valeur particulit-re ii^=o, qui rend infini pu. Mais on doit se

rappeler que (pu :, ) conserve une valeur finie quand u tend

vers zéro, de sorte que les dérivées de pu par rapport à g^ et ^3 restent alors finies. On voit donc que les deux fonctions s'évanouissent pour u = o. Donc

pu I / , dp II „ ôpu

P « JJ « V 'Igi <^gi

C'est la relation (i), qui se trouve ainsi vérifiée. Faisons un calcul analogue en prenant cette autre dérivée

')/„ 6p"-î/ — .iTo \ iipup'it (Ç)p-u — £^=,)p"ii

— ( tu- ^-7; — ; — = — pu- ~ • . — ,,

duy " 5p u / ^JJ « JP^*

Remplaçant p";f par {6p-u — ^ S'2) et réduisant au même dénominateur, on obtient

I ^àpu

Ou \ 3p' u / p - u

D'après les relations (3), nous concluons

Pour u infiniment petit, on a

Iim [X.U =0, Iim 1 ^ ^ , — ! —

«^oV ' "/ «=o\ 3p u U

La fonction, dont le premier membre de (4) contient la dérivée, se réduit donc à zéro avec u; il en est de même pour celle qui figure au second meiTibre. Donc, en multipliant par 2 à chaque membre, on conclut

(■^) 12^3 7— - -^Tgl-^ = 2p ut.U^^p''U--g.2.

Cette relation (5), jointe à la relation d'homogénéité (i), fait connaître les deux dérivées demandées.

La combinaison de dérivées partielles, qui figure au premier membre de (5) avec les dérivées de pu, jouera dans ce Chapitre un rôle important avec d'autres dérivées. Il conviendra de désigner par une seule lettre D cette opération

Ainsi, pour une fonction quelconque de ^o? ©sj le symbole D/ signifiera

Il est évident que Topération D et celle de dérivation par rapport à une variable indépendante de goj §3 sont commutatives, c'est-à-dire qu'on a

OU '' du

Ainsi, en dilTérentiant successivement dans l'égalité (5), nous obtenons

1' D p H = ip' ulu^^ ]■)"- u — I ff,,

(7) \Bp'u=2.p"u^u-h-6p'upu,

( Dp'u^z ip"'u^u-{- ^Sp^u — Sffipu — Gs's,

De même, en dilTérentiant l'équation d'homogénéité (i), on obtient la relation générale, évidente d'elle-même,

r) r\'"^ Il f) n'"' ii

On connaît ainsi les dérivées de pw, p> u, p"u, . . . par raj^port à g2i gi- Où voit que les dérivées de p^'^^u, outre une partie entière en pu, p'u, contiennent un terme up^'^^^hi et un autre ^u p^"'^^hi, qui ne sont pas doublement périodiques.

Calcul direct des dérivées de pu par rapport aux invariants.

Comme nous l'avons annoncé au début du paragraphe précédent, nous allons calculer directement les dérivées dejDW, en intégrant les seconds membres des équations (3). A cet elTet, nous devons

CevPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 205

(Cliap. Vil) les décomposer en éléments simples. Dans chacifne des formules ci-après, il j aura trois termes semblables ; nous en écrirons un seul, les deux autres seront à déduire par permutation des indices :

p'-^u {pu — ei){pu — e2){pu — es) (Ci— eî){ei — es) pu — ei /ipu pu ^1 ^

p'^u {pu — ei){pu — e2){pu — e3) (gj — e2)(e, — 63) p« — ej

z= [p(u — Wi) — Cl].

pu — ei (ei— 62X^1 — <?3;

Soient

[(ei-e,)(e,-e3)]2 ~ ""

Cl,

[{ei — eo){ei~e3)Y

et, de même eu, «3, ^2, ^3, ^2, ^3, par permutation des indices. Nous avons

-4- = aip{u ^ oii) — bi-h . . . = -[(ail(u^Mi)^biu]...,

p^u ou

Les seconds membres des égalités (3) sont ainsi sous forme de dérivées par rapport à u. Intégrons et observons, comme précédemment, que les fonctions, dans les nouveaux premiers membres, s'évanouissent pour u = o. Le résultat sera donc

8 dpU „, ^ y I .

P w àffs 8 dpu , „. X 7 y

p u dffi D'après la formule d'addition (V, i5 ),

■^ ' ^ ■ -2 pu — pv

en y faisant c = w,, on a

(10) ^« — Wi) — çwi = ;a -h