B\' 4A2 /A3Y 2A2B /B2Y 54 GR
GJ^--c^' rGV~""G^' Ia3;---â^-
Prenons, en particulier, la dernière de ces dérivées, d'où nous concluons
Par celte relation, il est aisé de voir comment varie, avec A-, le rapport ^- Les valeurs extrêmes de A- sont o et +i; à toutes
deux correspond, pour A, la valeur zéro, et, pour ^ , la valeur Tjy.
Quand A- varie de o à ;^, le second membre de (3-) est négatif; il est positif, au contraire, quand A- varie de ^ à i. Donc, A- croissant de o à i, le rapport -^-^ décroît de + i à o; puis, A- crois-
sant de V à I , ce même rapport croît de o à + i . Dans le premier intervalle, ^3 est positif; négatif dans le second. Si l'on suppose i^o invariable, ce qui est permis, on peut conclure ainsi : A- croissant
de o à T,, gz décroît de + i / i ^ j à o; puis. A- croissant de^ à i ,
0-3 décroît encore de o à — 4 / i^\ • En un mot, si g.^ reste fixe, ^^3 décroît constamment pendant que A- croît.
Variation des périodes avec les invariants ; rapport des périodes.
L'égalité
— -, = (In II,
du
où l'on remplace am« par cp et ànii par y/ 1 — A-sin-:p, donne
celle-ci
, do
du = ' •
y/i — k^ sin^cp
Quand u est réel et compris entre zéro et K, il en résulte
./ i/i — A'ï singea
et, si Ion prend la limite extrême de cette égalité,
do
sin^o
Telle est rexpression delà demi-période K par une intégrale définie. Comme A-sin--^ est positif, l'intégrale est supérieure à
c/'i ou - • Ainsi 0 ' ^
D'ailleurs K se rapproche d'autant plus de cette limite inférieure que A- est plus petit. D'autre ])art. l'intégrale
r"" do r'"- fH
n'a une valeur finie que si a n'atteint pas - ? et dépasse toute limite
quand a se rapproche de -• Donc K croît au delà de toute limite
aussi cjuand k se rapproche de l'unité. Ainsi, lorsque A" varie de
zéro à l'unité. K varie de -'- à ce .
La quantité analogue K'joue, par rapport à A', le même rôle que K par rapport à A; c'est donc l'intégrale définie
Puisque A' varie de i à o quand k varie de o à i , K' va de -7- «^ à -
en sens inverse de K. Le rapport -^ va donc en décroissant constamment de + X à o, tandis que A" croît de o à i. Il est égal à l'unité pour A- = A'- = t-
Les demi-périodes co et to' sont
w = Kl/A, -r = K v^ a; -^— = I— •
Nous venons de voir, dans le paragraphe précédent, que, si g^ reste fixe, ^3 décroît constamment quand A- va croissant; donc :
Si g 2 reste fixe, le rapport -A varie toujours dans le même sens que g^-
64 PREMIÈRE PARTIE. — TOÉORIE.
Les valeurs extrêmes et la valeur moyenne de ce rapport sont
|pour ^3 = -H^(f)-\ ^= + -; (38) \ » ff.^o, ^=i;
Cas où iTs est nul.
Pour le cas particulier g.i = o, la valeur même de oj est remniquable. Elle est donnée par l'intégrale
où e, désigne la racine positive du dénominateur, e,=^S A'.-- Changeant de variable en posant;ri= e,^--, on obtient
dr
1 /- /" dx
L'intégrale définie que nous rencontrons ici a été calculée pour la première fois par Stirling; voici sa valeur numérique :
r^ dr A= / =1,3110^877714605987....
C'est une intégrale eulérienne de première espèce: changeant./'' en X, on a
4 r(fj
Expressions asymptotiques des périodes quand le discriminant devient nul (').
Nous nous servirons ici d'une proposition appartenant au Calcul intégral et dont la démonstration, extrêmement facile, n'a pas besoin d'être rapportée. Cette proposition concerne les inlé-
(') Ce paragi'aplic peut cire omis dans une élude sommaire.
