CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT ALX INVARIANTS. co

\ oici quelques-uns de ces coefficienls, dont les premiers oui dt'jà ('té trouvés autrement (\ II, 49) •

2 — 3 o Xff2

-* —r-o3 16» 2 TiT'^^&^S

\ oici maintenant une autre voie pour parvenir à Téfpialion (.]i a). Xous allons la déduire de l'analogue (21). qui a été établie |)i)ur 3'«. D'après cette dernière (21), la fonction j' =^ 3'( « -\- f), où f est indépendant de ^21 ^"s? vérifie la relation

Changeons de variable et prenons z, au lieu de r, en posant

V — z- jve

La transformée sera léquation >ui\ante :

—, — D.--^-pL^,«2-^2r^^-- -f- ^ ( r- f — D log :ri-' — uDZv ^r- jL ^2 1-'" — '- ^i "<■ ) = o. -Nous avons d ailleurs, comme il a été prouvé précédemnicnl,

Z-v — D\op: jV — -i,j A'2 ^'' = p t', — D w t^ -^ 1 i,'., i^ = 2 n r Ti^" — 1)' r,

m sorte que notre équation devient

Le dernier terme est séparé à dessein, comme devant disparaître

\ oici comment. Nous savons <pu^, comme fonction de r, c s"ex-

|)rime sous forme entièi-e. dans son développement (\II, 48), par

pv et j)'e. Mettons en évidence ces deux quantités dans l'opération

3o6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

D, qui affecte ici z, et traitons go, ga-, P^iP'^' comme des variables indépendantes. D'après les égalités (7), nous devrons écrire alors, au lieu de D;,

^'"'^if'v (^^'''^ ^'' + 4p^'' - 1 ffi) ^ ^( ^P"^ ^'' + 6pV J30-

Ici, bien entendu, l'opération D ne portera plus sur pv et p'v. Dans cette dernière quantité, deux termes peuvent se réunir ainsi

àz , y ^ àz „ dz

opv ^ P V <J^

joints au terme entre crochets dans (32 ), ils donnent

y [à^ àz 1

1C.V \ ; H II p VZ ,

cjuantité nulle, comme on l'a déjà vu (VII, 46), et comme cela doit être, puisque z ne dépend que de pv, p' v, non de "Cv, c'està-dire est une fonction doublement périodique de c.

Remettant maintenant pour le symbole D son expression, il nous reste, à la place de l'équation (Sa), cette transformée définitive

i d^z àz 0 , dz , ^ . r)z

dz , . , ^

— Gp t' P^'y~' — ' vrï^2'<--^P'"-t- «p t'j- =0.

dans laquelle, répétons-le, u, go, gi, pr, p'v sont considérées comme des variables indépendantes. Cette transformée est vérifiée par la fonction

On pourrait s'en servir pour former le développement de\:; suivant les puissances ascendantes de 7^; mais ce serait plus compliqué que par le procédé suivi au Chapitre VU. Seulement la nature des opérations que l'équation (33) renferme sur pv et j^'ipermet d'attribuer à v la valeur particulière v = (o^, d'où résulte pi^ = Cai, p'v = G. Par ces suppositions, l'équation (33) reproduit l'équation (3i «), comme z reproduit da,n