CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. Soj

Dérivées des périodes par rapport aux invariants.

Nous avons précédemmenl observé que, si c est une fonction de .^2,^-3, on a

(35) Dpt"^p = (Djy«'«)„=^-hj3'«+i^^Dt^,

et nous avons déjà utilisé celte relation, dans l'hypothèse ç = o)^, n étant supposé nul (aS). Semblablement, pour tout nombre pair n, on retrouve de la sorte une égalité équivalente à celle qu'on obtient avec « = o; par exemple, pour/? = 2, on a, d'après (7),

ce qui concorde avec la relation (u5), nous donnant

Mais, si Ji est impair, le terme J3'"+'^P, dans (35), ne disparaît pas quand ç est une demi-période, et l'on obtient ainsi le résultat de l'opération D sur cette demi-période. Prenons le cas /i^i et mettons simplement m pour cette demi-période qui sera quelconque : p' V étant alors nul, Dp't' l'est aussi, et nous avons, en écrivant Tj au lieu de uto,

o = 2])"a).T, -^ p"(x> Dw.

Telle est l'expression très simple que nous trouvons

(3b) Da)=I2^3 -— +1^2-— - =— 27,.

Avec l'équation d'homogénéité, co étant du degré — i, comme du,

nous avons les deux dérivées de co, savoii-

A-— ■ = Jffil^ — Sff.2-f„ 1 '^A 3

Cira

3o8 PUEMIÈUE PARÏIK. — IHÉOllIE.

On peut encore obtenir l'égalité (3(3) d'une autre manière par la première relation (^). En supposant toujours u indépendant de go, gzi nous aurons, à cause de la périodicité de pa,

Mais, d'autre part, on obtiendra D p[u-^ 2co) en faisant l'opé.alion D comme si l'argument était indépendant de i?2i ©'a et ajoutant au résultat 2j)'(;/H- cio))D(o.

Donc, suivant ('y),

]) j1« = 'ip'(« -r- 2W) "(.{u + 2to) -+- '\p-{ll -+- 20j) — f .■?"2+ ?-P'(« "^ 2'^'^) Doj.

Comparons à (7), et observons que j) ( // + 2^'^), J)'('' + 2(^d), reproduisent pu et J>'^/, mais que ^(;^ + 2w) ^ ^« + 27,, et nous avons

4,p' u Vj - 2Jl'«/ Dto = o,

l'etrouvant ainsi l'égalité (3<)).

Dérivées de r^ par rapport aux invariants.

jNous obtiendrons ces dérivées en opérant sur l'égalité (iT)) comme nous venons de le faire sur les égalités (7). D'après (lo), nous aurons généralement, à cause de ^'(' = — j)r,

D !I t' = — '2 j) (' !^ ç' - - jV (' -+- i ,i,''2 1' — pv Dv.

Supposons V = (0, et enqilojant l'expression (3()) de Dw, r.w conclut

Avec la relation d'homogénéité, ceci nous donne