CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. SOQ

Voici quelques conséquences qu'il convient de remarquer. Prenons deux demi-périodes distinctes tu, to', et les quantités correspondantes r^,■r|! . Considérons, en premier lieu, la quanliléy.to' — -f'o). D'après (36) et (38), nous avons

Dr/ij' = T, Dw' -+- w' Dr, := — 2T,r/— i g.iiii\<i , Dr/to = — 2t,t/ -h i j?.)Wio',

D(t,cu' -- t/co ) = o.

L'opération 4^-^^ — -h 6 ""3 — donne aussi zéro pour résultat sur-

cette quantité, qui est du degré zéro; donc, comme on peut le vérifier aussi par (3^) et (39), les deux dérivées de r,(o' — r/to sont nulles. Cette quantité est donc une constante numérique. Nous savons, en effet, qu'on a toujours (p. 260)

(4o) T,in — r/o) = ini — 1

m étant un nombre entier, qui est l'unité si oj et to' sont convenablement clioisies. On trouve aussi par (36),

/ oj Doj' — oj' Dto = 2(r,to' — t/w j — nu'—.

' l lu (o-

De même, comme conséquence de (38 ;.

.' 1- . , T- i , , , mi-

[ T, Dr, — T. Ut. = i i'-.i (Ta) — r 10 1 = g-,.

Notons encore cette dernière égalité

(43) Dr,bi = T, Do — co Dt, = — 1f,--^ ^ g.,iji^-.

Observations sur les équations aux dérivées partielles qui sont vérifiées par les fonctions r'.

Reprenons les deux équations (2 1) et (3 1) en mettant des lettres quelconques pour les i/iconnues :

Voilà deux équations à trois variables indépendantes g2, gs, u qui s'offrent dans celte théorie. Il est manifeste que l'une est une transformée fort simple de l'autre. Si l'on pose 5= p. Y, pour changer d'inconnue dans la seconde, et que [jl soit indépendant de u, la transformée sera

£ll Dy — (-L ^, w2-^ ea— DIo-ijl) Y = o.

Celte transformée coïncidera avec (44) si l'on choisit pour ;jl une solution de l'équation

DlogîJ. = ea-

Or, d'après la relation ("îy),

D log(ea— e?)(ea— «y) = 4ea,

on a une telle solution en prenant

On peut donc se borner à considérer l'équation (44)? et nous voyons que V équation (44) ^sl vérifiée par les quatre fonctions suivantes, mises à la place de y,

\\ei -e2){ei—e3)

^{ei—e3){e.,— ei) V(e3 — ei) (63— ej)

Nous pouvons même multiplier ces quantités par des fonctions arbitraires de A; les produits sont encore des solutions, puisque, d'après l'égalité (24), l'opération D, faite sur A, donne zéro pour résultat. On peut aller plus loin encore, et nous allons faire connaître un changement d'inconnue qui transforme l'équation (44) en elle-même. Soit

une solution de l'équation (44)- Considérons la fonction

oij n sera supposé représenter une arbitraire, indépendante de u,