CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3x

gi-, gz\ un nombre, si l'on veut. Voyons d'abord quelle est la transformée de (44) pour j',. Deux changements doivent être faits dans cette équation : le premier consiste à remplacer, au dernier terme, II- par {u + rtio)- ; le second se rapporte à l'opération D, qui est faite dans (44) ei supposant u indépendant de g^, gy. Il est manifeste que, mettant dans/, après l'opération, z/-t-/?oj au lieu de z/, on aura, d'après l'égalité (36),

Dri= D/H-n ^ Dw = D/— anr -^ = D/— 2«r ^' :

•" -^ du •' Ou -^ 'ou'

par conséquent, la transformée en j', est *^^^^ Inc^ "'^"'''•''oTi — Dj'i— r2^2(«-t-«w)îji=o.

Changeons maintenant l'inconnue en posant

-. n r, II-. — «-r,w

On aura

— ^^ = Tr — î -î- 2nr, "7 •- n-r-,

j'i Ou' 1 Ou'^ 1 Ou

I ch'i I dY

j'x ou Y a«

— Dyi = i DY — n« Dr, -i- |«2 D roj. Ji Y - - .

Celte dernière égalité, d'après (38) et (43), se change en Substituons dans (4^), et, réductions faites, nous trouvons

-4 - DY -^ .L „., „2 Y = o,

c'est-à-dire l'équation (44) elle-même. Ainsi, a^ant une solution r = f[u\ go, g-i), nous en déduisons cette autre •

(4?) JK=/("-^«w;^2,^3)e 2

dans laquelle ii est iine quantité numérique à volonté. En parti-

3l2 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

culicr, prenons /? = i , et nous aurons pour celte solution, en partant de o"^^, '

. , —r,ii TM) r.d)

y = !j{u-^iù)e 2 =::',?/ 3' toc 2 ,

ou, d'après une relation dijà établie (VI, 48)5

Cjt u

\/{ei~e2)(e^—e3)

C'est là, on le voit, une nouvelle manière de démontrer que la fonction da.u vérifie l'équation (45)'

Au point de vue de l'équation {^^) elle-même, si l'on change

encore, dans (47)j it en u -h /î'oj', en multipliant par le facteur

— Il Ti [H + Il (jH) h'--/1'(0' . f • ^ ^ ^ •

e 2 ^ on voit que cette équation admet la solution

^, , ,, — (nr.-f-H r, » I ( H-o + n'r.'i ( « w-f-/i' to'i

y ^^ :f{u -\- iiM -^ n M )e i ,

où /?, n' sont des quantités arbitraires. On peut, en outre, multiplier y par une fonction arbitraire de /?, /?', A, intégrer ou difiV'rentier le produit par rapporta /?, n' , et l'on a encore des solutions. Par exemple, {tod' u — rji i u) est une solution de l'équation (44 )• obtenue en différentiant, dans (47)5 pai' rapport à n, et faisan 1 n = o.

Équations hypergéométriques avec l'invariant absolu pris pour variable indépendante.

Si Ion considère une fonction de g.2i o S' bomogène comme les précédentes, mais de degré zéro, on peut envisager cette fonction comme dépendant d'une seule variable, V invaiiant absolu J,

Comme DA est nul (^4)î on a

DJ = ii 12^3 = ^^^^ I ^1 = 4 /3(J - i/^J^AC . » 2 (^"^i

Soit z la fonction considérée; elle aura une dérivée par rapport