CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT Al.V INVARIANTS. Ola

à J. et, si l'on connaît D:;, on en conclura

D.= ^JDJ = iv'3(J-.,'jlAH;.

Prenons, comme de telles fonctions z, homogènes et du do^iu' zéro, les denx suivantes x, y' :

JL 1

Siiisant (36), nous aurons alors

et, suivant (38), (h' r i 2 i , I 2 ^ I 1

(5i) ^ ^ ..L(j,)-ïj-i^.

Conservons la quantité x\ mais, au lieu de r', prenons r, (52) r = -^.(J-ir^J"V,

2 v/3 et les deux relations (.^o) et (.Ji) s'écrivent dx

f M'iJiJ — i)^j 24(7J - 4))- — a-^ o;

d'où l'on peut tirer une équation séparée, soit poui' j(\ soii pour)-,

(^4) "^'^'""'^rfji ^e(i — 7J;^j -rh-^-"'

(55) j('-j)Sî-i(5-.9J):;;'-H7-o.

Ces équations appartiennent au tvpc liypergéoinétri'jue ou équation de Gauss^ et nous y reviendrons dans le Chapitre sui-

vanl. Elles déterminent les quantités w, r, en fonction des invariants (*).

Applications : Limite de - quand le discriminant tend vers zéro ; variation de - quand le discriminant est positif; exercice.

Les formules qui donnent les dérivées de '/\ et de co par rapport aux invariants sont souvent utiles. Nous allons, à titre d'exercice, en donner ici trois applications, où les invariants seront supposés réels.

Première application. — Démontrer que, le discriminanl

tendant vers zéro, le rapport 4- tend vers la limite -^^j comme

on l'a déjà reconnu (V, 82 et 33). Prenons l'égalité

on j entendant par w la demi-période unique qui reste finie et continue quand A tend vers zéro. On se rappelle qu'il y en a toujours une dans ce cas {voir Chap. II et III) : deux demi-périodes différentes jouent tour à tour ce rôle, suivant que ^3 est positif ou négatif. Ce sont la demi-période réelle et la demi-période purement imaginaire. Le premier membre de l'égalité (56) devient donc nul,

et l'on a effectivement, à la limite, - = -^ • Mais, si l'on prend

maintenant une autre demi-période, on aura

Y^ Tj ni~ w co coco

Le second membre est infiniment petit, car ô3 est infini. Donc

-é a la même limite que -^•

(') L'cqualion (54) a été clécouverLe par M. Bruns: Ueber die Perioden der elliptisclien Intégrale erster und zweiter Gattung (Dorpatcr Festschrift, iS^S); elle a été reproduite par M. Félix Klein dans son premier Mémoire sur la théorie de la transformation : Ueber die Transformation der elliptisclien Functionen und die Au/lôsung der Gleicliungen filnjten Grades {Matli. Ann. t. XIV, p. 124).