CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3l

Deuxième application. — Quand g-^ reste fixe et positif et que

oit depuis — 1/ ( y) 7''-^^"'" '^y \^) (^^ ^°^^^ *ï"^ ^^ discriminant reste positif),— croit constamment depuis 1/ ^

jusqu'à -h -i/ ^', to désignant la demi- période réelle ou la

demi-période purement imagincdre.

Par les relations (3-) et (Sg), nous avons

4 A ( co — !- — T, ) = 1 2 ,^2 ■'i' — 36 g^ w-r) -+- f;\ to^

Tj — to 1 -1 w- ;

On voit que, g.2 et A étant positifs, le second membre est tou-

iours positif. Donc — est constamment croissant. Pour les valeurs

extrêmes de ^3, le discriminant est nul, et les valeurs extrêmes de

^sonti^^+il/Ç.

10 igï 2 y 5

TnoisiiîME APPLICATION. — Lc discriminant étant positif , établir que la fonction fÇi)

fa) = ^r—r,i-^g,^o

(où (-0 désigne la demi-période réelle) est négatÏK'e pour ^ = e et pour ç ^ go, et cjuelle est positive pour \ = e^.

Celte application, un peu plus compliquée, est utile pour la théorie du pendule, comme on le verra dans le tome II.

Formons la dérivée dey(i) par rapport à ^3, en y supposant que i soit g), 60 ou 63. Envisageons d'abord la quantité

Les coefficients P et Q s'obtiennent par la substitution, dans

T . 1 • . r)co ^ dr\

cette effalite, des expressions trouvées pour — et -, — »

3l6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Formons ensuite les produits Q; etO;-. en v faisant disparaîlif ;', par le nioven de

Nous trou\ons ainsi

Qç = P,

Comparant cette dernière quantité à — r^^^Q' *^" obtient

Remplaçant P par Q ; et Q par cette dernière expression (Liii> (5-), nous aurons

Nous déduisons aussi de (58)

par conséquent, en dilTérentiant /(; ), nous aurons

I (jjc -;- T, S>. CO: T,

cy^'3 2 12^- — ^'o

La forme si remarquable de cette dérivée va nous permettre tir démontrer la proposition annoncée. Ecrivons-la ainsi

(59) li(.2r^-.^2)^-0'^ =/(^)--i^2to.

Observons maintenant que, g^ croissant depuis — \/ (^)

jusqu'à +l/(%^) '/(^) "6 peut être infinie qu'à la limite inférieure, où Y, et (0 sont infinis. Elle est ensuite toujours finie. Elle est nulle pour la dernière valeur de ^'3. En effet, le discri-

CIIAIMIRE l\. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. 3|-

minanl étant alors nul et ^3 positif, Co et 63 sont égales entre elles ; par conséquent elles rendent nulle la dérivée de 4?' — .^'2^ — ^'i •

(>ettc \aleur de H coïncide avec celle que |)rcnd alors ' , connue

on l'a vu dans la seconde apjilicalion. On a donc

/■(' Ê ) " i oj I 1 2 i^— ;'.> ) oji ( ï -- ^ ) =. o. î - e,, e-- . D aulre part, on a

e, — e., — é-j — o, e\ — el — el = J g, . J\ei)-^J'(ei)-^f{ei) = o.

\)onv J'iCi) est nul, en ce cas, puis([ue /(^o) et/((?:,) le sont aussi.

Rappelons-nous aussi que la dérivée 12;- — g-2 du [)ol\nonie (4?' — gi^ — g^)y dont les trois racines sont e^ << e-i <^ ^'j, est positive pour les deux extrêmes, négative pour la racine niovenne; et aussi cjue ei est positif, C3 négatif, e-^ positif ou négatif.

Revenons maintenant à l'égalité ( .K)) en v supposant ; ^ e,. Le coefficient ç(i2ç- — g-x) est positif. Comme |i,'j co est aussi positif.

on voit que — ^ est positif quandyi ^1 ) est nul. Donc /{(^i) ne

passe par zéro qu'en croissant, et, comme zéro est sa valeur finale, nous vovons cjue I on a toujours y^(<?, ) << o.

De même, en supposant ç = Cs, nous avons un coefficient négatif ç(i2;- — g.,) ; la conclusion est opposée : /(c;i ) ne peut passer par zéro cju'en décroissant ; donc, zéro étant sa valeur finale, on a toujours y («^'s) ^ o.

Pour Co, il faut observer (pie sa \aleur finale, coïncidant a\ec celle de e^, est négative. Faisons croître gj à partir de zé'i-o, de telle sorte (pie e., reste négative. Alors <?o(i2ei! — g-i) est une quantité positive, et, par le même raisonnement, on voit que / (e.,) est négatif, quand g.i croît ainsi à partir de zéro, c'est-à-dire quand

3l8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

e-2 est négatif. Pour le cas opposé, observons que le polvnôme /{-•)■) dont les termes extrêmes ont des signes opposés, a une seule racine positive, à laquelle Ci est inférieur, puisque y(ei) est négatif. Comme (?2 est moindre que ^1,^2 est moindre aussi que la racine positive dey(^); par conséquent, si e^ est positif, Co entre les deux racines de f{z) cl /(^e^) est négatif. Donc, en tous les cas, onay'(<?2) ■< o. C'est ce qu'il fallait prouver.

Voici quelques conséquences de la proposition qu'on vient d'établir. Considérons le quotient de/(E) par co, et soit 'f (i) ce quotient

Il est prouvé qu'on a

o(ei)<o, 0(^2X0, cp(e3)>o.

Prenons maintenant la quantité analogue, également réelle, en mettant la demi-période purement imaginaire

eu

Par le changement de g^ en — 0-3^ C5(e,), cp(eo), oie-i) se changent respectivement en 6(^3), 'l (e^), 'l[e^). On a donc

<l/(ei)>o, <]>(^2)<o, 6(^3) •<o.

De là résultent, pour les six quantités o et 6, des limites plus précises ; car entre ces quantités a lieu la relation

En désiirnant par une seule lettre la Quantité positive

■2a)to'

on a donc

— cei < cp(ei) <o, o < t|;(ei)< c^i,

o< cp(e3)<— cé-s, c^a < <];(e3)< o.