DOUBLE PÉRIODICITÉ

grales définies, clans lesquelles la fonclion inlrgrée dépend d'un paramètre variable, dont une valeur est considérée comme limite. Il consiste en ce que la limite de Vintégrale est égale à l'intégrale de la limite, pourvu que, dans tout le champ d'intégration, la fonction intégrée reste toujours finie quand le paramètre varie. Cette proposition s'applique même au cas où le champ d'intégration est infini, pourvu que l'intégrale ne cesse pas d'être finie.

Supposons que le discriminant A devienne nul ; une des racines e, ou e-i converge alors vers <?2 ; admettons que ce soit e,, cas dans lequel ^3 est négatif. Soient donc

e-i = — ia,

£ étant infiniment petit. Nous avons d'abord (p. 5-)

changeant de variable et prenant j- — 2a = t-, il nous vient

et, puisque la fonction intégrée reste finie quand s converge vers zéro, on a

dt TT

lim

Za-r- t-

La demi-période oj devient infinie, et nous allons en chercher une expression asymptotique. En même temps que

considérons cette autre intégrale

v/ei-f-2aj '^ \\/{y — ei)

(7 — Ci)

Cette dernière se calcule aisément au moven de l'intégrale in-

définie,

'■* \/(7— ei)(7— e,;

/(7 — ei)(7 — ^2)

On a, par conséquent.

\ei

.\/ei

1\J Cy — ia

lo!r

Cette quanlllé o. comme on le voit, devient infinie pour s = o; mais la din'érence (w • — p) reste finie. Nous allons le reconnaître et en trouver la limite.

Réunissant sous un même si^ne d'intéirration les deux fonctions intégrées, nous avons

Je, ^ V\lKy — ey)(y — e,)\\Jy — ia ^Je^ — ia) \/ey—ia Y mais la fonction qu'on intègre ici peut être écrite

•i-slei — ia\^y V y ^2 \J y — ia{>J y -r- aa — y/ei-r- aa) J

et l'on voit qu'elle reste finie, même à la limite inférieure J)' = C), quand c. et C) convergent fun vers l'autre; donc, encore ici, la limite de linté^rale est éçiale à rintéerrale de la limite, et nous avons

y ^ \ \/,y -^ "i-ci ^"ba J ys/'ia

lim(a)-

Soit, pour un instant, b^ a: on a dr I

Ky — a-)\J y-r-ia

dt t- — 3a

= ' lo^ (y/aa-T- b — ^1a? ,

\__ r'^ dy f i I \

los

En ajoutant membre à membre, nous concluons

j, "^ iy-^\\/y^^^T^ ~ 7^/ ~ tT^.I

= =^ loK i •

Supposons maintenant h ^= a, et concluons lini(w — p;

2 y/Srt

Nous avons trouvé pour p uae expression qui diffère de — -^z^^ log —

seulement par un infiniment petit ; donc enfin

I 0.4 a \ -== log — - =0.

Faisons disparaître de ces résultats a, s; mettons en leur place les invariants g-2i g'3 et, avec eux, l'invariant absolu

dont il sera plusieurs fois fait usage. D'après les expressions cidessus de Ci, eo, e-i, et celles de g-^, g's par les racines, nous avons

Cl- a r ; . *-

Nous pouvons, par conséquent, résumer nos résultats ainsi : Quand le discriminant devient nul et que gi est négatif, on a

\ lim V 12^0 — = -, (40) ^ __

( \\m\jj 11 g i i.0 — log(24 /3 J)J = o;

à quoi nous pouvons joindre, sous une autre forme,

1(1) (4[) lim v/3Je"" w' = L..

Si maintenant nous voulons avoir les formules analogues pour

le cas où ^3 est positif, nous n'avons qu'à échanger to et -^; donc:

Quand le discriminant devient nul et que gs est positif, on a

^ = o, .•Ç':3 > o, J = -f- 00 ; i iim V i2^2 0j = -,

I lini[v'i2^2 -j —log (24 v/3l)] ^o; (43) lim/JJe ''^ = yï-

08 PREMIÈRE PARTIE. — TUÉORIE.

H est facile de compléter ces résultats en concluant les analoii^ucs pour Ket K'. Dans le cas des formules (4o), nous savons que l'on a (p. 63)

-r = /àK', limK'= -; i 1

donc

D'autre part, d'après les égalités (34), nous avons à la limite, pour A' = o,

et, d'après oj = y/'''^' ^^^^ pouvons conclure ainsi : Lorsque k' tend vers zéro, on a

\ limK'= -, ) -,«

1 J. le iv'

(4.i) : . ,. . lim^-lV-

/ lim(^K-Iog^,j=o (

De même, pour le cas des formules (42) Lorsque k tend vers zéro, on a

limK

/ lim Av'— lo-| I =0 ^ ''''

Dans le Chapitre VIIT, on retrouvera ces expressions as\mptotiques par d'autres movens.

CHATITRE m. — DISCRIMIXAXTS NÉGATIFS. 69