CHAPITRE IX. — DÉRIA^ES PAR RAPPORT AUX ir<VARIA>TS

Par exemple, en prenant, pour F, la fonction v^j — esdnii, qui satisfait à l'équation (74) 6t a pour degré p = — ^, on aura

cette fonction devra vérifier l'équation (70 a), et l'on pourra former son développement, comme on vient de le faire pour la précédente.

Équation aux dérivées partielles pour le calcul de la fonction '!;„(?<).

Soit encore ^{u, w, oj') une fonction satisfaisant à l'équation

(78) ^-DFh-J^^,«2F = o;

la fonction j-= F(/n^, to, to'), où n est une constante quelconque, vérifiera l'équation

Faisons le changement d'inconnue

y du^ z du^ ^ Ou ^ * '

- Df = ^DZ 4- n2D log3'M= i D^-+- «2(^2„ pj^ ^ J^^2«-)-

Il en résulte la transformée

/ N 1 rPz dz / 0 \

En considérant la variable pu, au lieu de u, on aura

^ àz 1 dz ^ „ dz

âpu ' agi ^^^ dg3

= '^1:7, (2P «!:« + 4P'«— 5^2)+r2^3T— -t-3^2 -T^- O P « ^^2 (fgz

Si l'on met cette expression de D^ dans (79), on voit dispa-

raître les deux, termes en X^u, car on a

dz , dz

ou o pu

La variable pu remplaçant w, il faut aussi changer le premier

terme

d-z d^-z àz „

au- (d pu)' à p u

Ainsi, soient

F (nu)

X = pu,

F (il) satisfaisant à la relation (-8) : la fonction z vérifie l'équation

dz ôx

j — n'- Uiffi-^^ ^igl-^j ^nr-{nr- — i)xz = o{^)

Supposons F(?^) = du. Alors :; coïncide avec la fonction '}«(«) qui sert de base à la théorie de la multiplication de l'argument.

Ainsi la fonction '}«(«) vérifie l'équation (80), qui pourra servir à calculer t!^,i(«).

Supposons, par exemple, n impair; '}«(i^) est alors un polynôme entier en pu, dont on connaît le premier terme (IV, i3),

<l,^(u) = nx - -^ Xx - -{-....

En écrivant ce poljnôme avec des coefficients indéterminés et substituant dans (80), on verra les coefficients se déterminer successivement sans difficulté. Mais nous ne voulons pas nous arrêter sur cette détermination, qui, déjà pour le cas n = 5, entraîne à des calculs fort longs. Cette méthode est, il est vrai, la seule que nous possédions pour trouver 'l,i («) sans calculer d'abord les fonctions d'indice moindre; mais elle n'a été jusqu'à présent d'aucun usage.

(') Celle équalion reparaîtra dans la ihéorie de la transformation; nous dirons alors comment elle s'est présentée dans les travaux récents de ^I. Kieperl et de M. F. Klein.