CHAPITRE IX. — DÉIUVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

Pour le cas où n est un nombre pair, l'équation (80) s'applique encore à 'In (m). Mais '}« (u) a la forme

et ^n est un polvnome entier en pu^ dont on connaît le premier terme {W , i3),

^'«(«) = -i«^~^ Bx~^ "'--....

Il convient donc de faire, dans l'équation (80), le cliangement

z = p'u T„ = \/\x-i — g.2X — gi T;,.

On trouve ainsi la transformée

Il existe aussi une équation linéaire aux dérivées partielles, du second ordre, satisfaite par la fonction v,, (Chapitre I\ ) avec les variables indépendantes "■, et"'!]; mais cette équation très compliquée n'a pu être utilisée, et nous renverrons le lecteur au Mémoire où il pourra la trouver, s'il le désire (').

Sur un système d'équations différentielles.

Nous avons vu précédemment que, si z est une fonction homogène et du degré zéro, sa dérivée, par rapport à Q = log^y, s'obtient ainsi

Nous avons aussi formé De^; de l'expression (-^o) trouvée pour cette quantité, résulte, ainsi que de Dco= — 27,,

^ — = :zr>(|^2W' — 4eaw2r,co — 4eiW).

(') 5a/' deux équations aux dérivées partielles relatives à la multiplication de l'argument dans les fonctions elliptiques, par M. Halphen [^Comptes rendusy t. LXWVIII, p. 698; année 18^9).

33o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Joignons encore la relation (67) observons que g^i^i'^ est exprimable parcico^, e^w-, 63 oj^, ainsi

i ^2 <^* = ^I li>' ^2 <JJ" -^ ^2 W" ^3 W2 -!- ^3 O)- Cl OJ-,

et concluons que les quatre quantités 7,(0, e^.^- vérifient un système d'équations différentielles, dans lequel la dérivée de chaque inconnue, par rapport à Q, est exprimée sous forme quadratique et homogène en fonction des inconnues.

Comme la somme des trois quantités CaCo- est nulle, on peut introduire trois quantités seulement, au lieu de quatre. Posons donc

^a='^w — <?aw2, a, ^, 7=1, 2, 3.

Nous en concluons

xi\~ x^=^ 2T|C0 -^ eQ,w-— eyco- = 2r,w — ^a^^";

d(XR-^Xy) „ „ I , »,

Ainsi les trois quantités x^. vérifient le système d'équations différentielles simultanées (*)

sur lequel nous aurons occasion de revenir. Il se transforme d'une manière remarquable si l'on introduit ^2 W' et ^3^^. D'après la définition (6) de l'opération D, on a

(') Ce système d'équations fournit la solution d'un problème posé par M. Darboux (Annales de l'École Normale, 1' série, t. VII, p. i49). Il a été intégré par l'auteur du présent Ouvrage {Comptes rendus, t. XCII, p. iioi). Voir, sur le même sujet, une Note de M. Brioschi et une seconde Note de M. Halphen dans le

même Volume, p. 1889 et i4o4 (année 1881).