DÉVELOPPEMENT DES PÉRIODES EN SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES

Équation hypergéométrique. — Série hypergéomjtrique. — Diverses solutions de l'équation hypergéométrique. — Cas particulier oi!i l'un des coefficients est nul. — Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu. Discriminant positif. — Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu. Discriminant négatif. — Développement de K et K'. — Intégrales complètes de Legendre.

Équation hypergéométrique.

Soit Féqualion

^x — «1 ' X — a, X — a,i / dx

4 l(x — ai){x — a,)

^ \—qi—qz-^qK , ï — qz—qi

(x — ai){x — aj) ' {x — a3){x

Elle a deux propriétés caractéristiques :

i" Si l'on y fait >' =: (.r — a,)^' Y, la transformée en Y ne diffère de la précédente que par le changement de ^, en — q,. En effet, en dénotant les dérivées par des accents, ou a

y \ X — ai \

7i(7i— ') {x — aiY '

y Y ar — « 1 '

d'où résulte

i-7i y ^" ^ '-^^'i X — «1 J Y X — ai

I — 72 .X' I — 72 Y' ^ — «2 y ~ X — Ui \

{x — ai){x — «j)

I — 7i y 1-73 Y'^ X — «3 y X — aj Y

(.r — ai)(a7 — as)