CHAPITRE m

DISCRIMINANTS NÉGATIFS.

Définition de pu pour un argument réel. — Homogénéité. — Limite de u'pu pour n = 0. — Addition des arguments. — Arguments purement imaginaire-. Arguments complexes. — Périodes. — Les trois demi-périodes. — Infinis de la fonction pu. — La fonction pu passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires. — Variation des périodes avec les invariants : rapport des périodes. — Cas où gj est nul. — Cas où g, est nul. — Lemme sur les expressions asyniptotiques de certaines intégrales définies. — Expressions asymptotiques des périodes quand le discriminant devient nul. — Dégénérescence de pu.

Définition de pu pour un argument réel.

On a déjà vu dune manière sommaire, au Cliap. II (^Définilion directe de pu) comment s'introduit la fonction pu quand le discriminant est négatif. Nous allons reprendre cette définition, montrer rapidement comment les propositions déjà connues s'appliquent à ce nouveau cas et insister seulement sur les différences qui s'y rencontrent.

Soit

(0 /(7)= 47^-^2j — ^3=4(7 — ei)(r—^2)(7 — e3)

un polynôme ayant deux racines imaginaires conjuguées e|, eet ufie racine réelle eo. Cette circonstance est caractérisée par la condition que le discriminant doit être négatif.

L'intégrale définie (2)

dy

u -= f -^^— • Jpu v//(7)

oià le radical est pris positivement et où la limite inférieure varie entre -h co et èo, croît quand pu décroît. Soit too l'intégrale complète

(3) .0== Tt^;

parle moyen de l'égalité ( 2), la fonclion pu se trouve définie sans aucune ambiguïté pour toutes les valeurs de a dans l'intervalle (o, too). En même temps p' u est défini comme égal au radical /?rw négativement, puisque pu est une fonclion décroissante.

Nous étendons maintenant la définition à toutes les valeurs réelles de u au moyen des relations

p{ — u) — ]Mi^ ]:)( U ■- iMi') —- ]i n .

entraînant celles-ci

ji'( — Il ) - — p' Il 1 p' {il — 20)2) =^ ]'"

et se résumant ensemble par les égalités

(4) }^{imM.2±: u) ^= ]->ii, p'(2/?itOor^ k) =i=p'h.

Les fonctions pu et p' u sont continues, on l'établit coûime il a été dit au Chap. II. Elles deviennent infinies quand u est un multiple, positif ou négatif, de ato,. La première pu est toujours supérieure à e^, qui est son minimum, et Ion a

(5) pW2:^<?2, p't02 = o;

la seconde jj'w prend toutes les valeurs réelles et change de signe en passant par zéro ou par l'infini, quand u passe par une valeur multiple de Wo, multiple impair dans le premier cas, pair dans le second.

On conviendra de distinguer les deux racines imaginaires def{y), en prenant pour e, celle dont la partie imaginaire est positive. Soient

^1 = — a -^ i ^, ez = — 7. — i'^j, <'2 = 2 X ; p > o.

Les relations entre g.2-, gi et les racines sont les suivantes

*2 — — MeiCi-h 63^2-^ e^e^) = 4(3a-— 3-),

te l'on voit que g-i a le même signe que e^.

Homogénéité.

La définition (2) rend évidente, comme il a été expliqué au Chap. II, la relation (II, 3o)

(7) j>("; ffi^gi) = !-^r (^"Vi^; '% ^^y

CHAPITUE III. — DISCniMINAXTS NÉGATIFS.

Limite de n-pu pour ii =o.

D'après la définition (2), si pu est infiniment grand, la partie principale de u est

dy I

v/47^ ^pu

Donc on a

Uni. u- p it ^ i , pour u — o.

La partie principale de |)w étant —, celle de li'west — — j et l'on i I 1 <i ni il ni

a en même temps

liiii »3 j)';^ -- — 2

Addition des arguments.

La démonstration directe, donnée an Ciiap. II, s'applique ici sans modllication. Nous en ajouterons cependant une autre comme il suit.

Soit

Il a été prouvé, au cas du discriminant positif, que cette combinaison F est égale à pi^u -v- r). On a donc, pour ce cas,

dV d^ . /-T, — —

Cette relation n'est pas une identité par elle-même, mais seulement en vertu des deux égalités

p'^u- !^p^u— g.pu—gi,

Comme ces égalités (10) ont lieu aussi pour les fonctions qu'on vient de définir au cas du discriminant négatif, les relations (9) ne cessent pas d'être exactes.

Comme F, -— 5 y- sont réels, il suit de (9) que le radical est réel

aussi. Donc F et le radical, pris avec le signe dont il est alTccté dans (9), sont égaux respectivement à j)U et p'U, U étant un cer-

lain argument dépendant de u et de r. Sa liaison avec u, v est exprimée par (9), sous forme d'équation différentielle, ainsi

-— = -— ^ n'L -T- = jd'U --- = p U, du dv ^ du '' Jp ' '

cm '^u

du ' ôv '

donc U = « -^ (' -r- const. Si l'on donne à F la forme (I, 23)

u ( p M ,p r - I ffi ) ( p U-^ pv) — ,^:j p' ?/ p' t'

en voit, pour r = o, F se réduire à pu. Ceci résulte de ce qui a été établi au paragraphe précédent. On a donc simplement

C'est ce qu'il fallait prouver.

Arguments purement imaginaires.

En même temps que

pu^ p{u;g,, ff^), considérons

(ta) pu^p{u\g,, — g^),

qui a même définition que pu, et en diffère seulement par le signe de g^^ sans influence sur le signe du discriminant. La

demi-période de pu sera désignée par -^ , en sorte que to'., sera

une quantité purement imaginaire; sa définition sera

/i( j) ■" 4r' - gî}' -^ gi- 4 ( 7 -■- ^1 ) ( J -^ ei){y -^ e^),

On passe de {g-2-, gi) ^ {g-i-, — g-i)^ en changeant les signes des trois racines. Pour conserver la convention relative au signe de la partie imaginaire dans C) , il faudra, comme dans le cas où le discri-