CHAPITRE X. — SÉRIES IIYPERGÉOMÉTRIQLES POUR LES PÉRIODES

On a duilleurs, pour J = i,

eu = jco. r, = — ir, rio — r oj = — = i itm : r.io = - •

Par conséquent,

(i8) ab= ^, h^ ^= y

4/3 4v3a 4/<JA

Stirling a calculé aussi la constante numérique

(les quatre derniers chiffres sont dus à Gauss). On a, par là,

Les \aleurs numériques (17) et (20) de «, h étant substituées dans (i5), cette formule nous donne la demi-j)ériode réelle w. Le changement de ^-3 en — ^3, c'est-à-dire le changement du signe de \Ji — I , donne, par la même formule, la demi-période purement imaginaire w', divisée par i. Voici donc le résultat:

Si nous convenons maintenant de prendrel/ — . — positif, les grandeurs respectives de to et A- nous enseignent que le signe -fconvient à (o ou à -^ suivant que ^3 est négatif ou positif. A et B

sont les constantes numériques (16) et (19), calculées par Stirling. Les deux crochets représentent les séries h vpergéomé triques suivantes :

Considérons maintenant les développements suivant les puissances ascendantes de y- L'ordre des indices est 3, 2, i, en sorte

que le premier élément est nul. Les deux intégrales particulières sont, l'une finie, l'autre infinie comme log J, quand J devient infini. Or on a vu, au Chapitre II, que, le discriminant positif tendant vers zéro, l'une des deux quantités s/g-oM, yg^ — reste finie,

suivant le signe de g^, et que l'autre est infinie. Celle qui reste finie est donc proportionnelle à l'intégrale particulière qui, elle aussi, reste finie. Nous connaissons d'ailleurs (II, p. C'y) sa limite, et nous en pouvons conclure

(22) 4 oy =-;= o, -, -; - = --=F — , — , I, -r .

Pour la seconde intégrale, nous avons ici l'occasion d'appliquer la remarque faite, dans ce Chapitre, et relative au cas où le premier coefficient /y, devient nul. En supposant d'abord (7, différent de zéro, nous avons les deux intégrales particulières

f(^0 = [9ul,p^] et (i)V(-'7.),

pour composer les deux quantités s/go^- Faisant converger *y, vers zéro, nous remplaçons ces deux intégrales par /(o), déjà employée, et par |/(o) logJ +/'(o). La série f'{o), que nous désignerons par la lettre Q, se développe ainsi :

Il =zl