CHAPITRE X. — SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

On aura, pour la seconde période, une formule telle que V,^.i2^aJQ-^ilogj[^o,-,3;jJ|-.-^.[^o,-,-;jJ,

où y. et |B seront purement numériques. Mais on a vu, au Chapitre II, que, 0 désignant soit w, soit -V suivant le signe de ^3, la

quantité

l/y, 9. y/a v/3 — log 24 /3J

converge vers zéro, quand J devient infini. Il suit de là

U°"3>o, v'^Y , ( r I I il, , /-)

Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu. Discriminant négatif.

Pour le cas du discriminant négatif, nous distinguerons suivant le signe de ff-i, que nous allons d'abord supposer positif. Les relations

font voir qu'en ce cas J est négatif; il y aura convergence pour les développements suivant les puissances ascendantes de r

et de -J . Voyons d'abord les derniers. Ils correspondent à

l'ordre des indices 1, 3, 2, et voici les deux intégrales particulières

Pour obtenir une demi-période oj, il faut multiplier par A '-

346 PREMIÈRE PAnTIE. — THÉORIE.

On aura donc des expressions de cette forme

r. I J 1 „r I I J L3 '2 .] — ij ' L 3 -2 J — 1

où y., [j seront numériques. Si g^ est positif et que g-^ devienne nul, on a (III, p. 83)

«v^ ~ '"' ~ ^ ^ ^ ' Ji /^^^^ '

On n'a pas jusqu'à présent, croyons-nous, calculé celte inléj,a'ale définie, mais on pourra trouver, au besoin, son logarithme par les Tables des logarithmes des fonctions F, auxquelles nous renverrons. En posant donc

et observant que J s'évanouit avec g2, nous aurons déjà, dans le cas où 0-3 est positif, les valeurs numériques c et c ^/3 du coeffi-

cient a, répondant a Wo et -~

Soit maintenant

JNous en conclurons

2 d{ ^"oj,) ,^0^ ^ d} - ï'

et, d'après les relations (IX; 53, 02, 49)5 par "« calcul tout semblable à celui qui a été fait un peu plus haut,

Déjà, au Chap. \\\\ {Observations sur les cas particuliers, elc.)^ nous avons reconnu l'égalité