CHAPITRE X. — SÉRIES HTPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

Au cas 0-3 ■< o, g2 ^ o, on doit seulement échanger, dans (28),

(o.> et -^

La même observation s'applique aux. formules suivantes : A < o, ^3 > o, ^2 < o,

f *v^ — À -^=r2A-j -îo; I — J ---,- ' nJ o; 1 — J \/i — 3,

où A et B sont les mêmes que dans (21).

Développement de K et K'.

Prenons la délinilion de K par une intégrale définie (II,' p. 62),

et développons, suivant les puissances ascendantes de Â-, la fonction à intégrer :

v/i — A- sin-cp

I— J/i2sin2'^4--^.2.P'''S'n*? -^tÎï i-f-l^'^^ sinScp +,..

Intégrons ensuite chaque terme du développement suivant la formule

Tt I 3 in — I

Jf sin2«cp do

Nous aurons ainsi, pour K, une série hjpergéométrique

On aura de même

35o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

A cause de la relation k'-rr^ i — A-, et des propriétés de l'équation hjpergéométrique, on voit par là que K, R', et par suite «K' et toutes les périodes sont des solutions de l'équation différentielle suivante, où l'on a mis x au lieu de k-,

, -. ^ / cl'-Y , dy ,

(3o) x(i - y.) -^ -V- (i - 2-/.) ^ - ij- =. o.

Nous rencontrons là une des propriétés les plus curieuses de ces équations hypergéométriques particulières. En vertu des relations qui lient les invariants au module et to à K, l'équation (3o) est nécessairement une transformée de celle que nous avons formée précédemment,

La relation entre les invariants et le module (p. 60) peut s'écrire ainsi

et le multiplicateur )> a pour expression

Il en résulte

.-h /- -lATiF/i ,-4r<''-^"''-)('2— X)(l— 2X)1-^ . /-3-r , ,= .

AlV^> = i/3J«(J-') n- , y^^.y.2 -\ =îv/3 V' 3- [•''-( !-•''-)] S

et voici la conséquence finale, digne d'attention à tous égards.

Si, dans l'équation (3o), on fait un changement de variables, en prenant pour nouvelle variable indépendante J, liée à x par (3i), et pour nouvelle inconnue z liée à y par la relation

on obtient pour transformée