CHAPITRE X. — SÉRIES HYPERGÉOilÉTRlQLES POUR LES PÉRIODES

Intégrales complètes de Legendre.

C'esl ici le lieu de faire connaître, avec K et K', les deux quantités qui, dans les œuvres de Legendre, jouent le rôle des quantités employées maintenant, r, et r/.

Revenons aux formules du Chapitre I, et, le discriminant étant supposé positif, prenons la fonction

, , Il pu — e, e-i — eo i ^

an- -— — ~ : = i = i [pdi^ to ) — e-A

s/1 pu — es pu — Ci e^—e^^" *'

^i — pf^i -4- to') d g] ?t -T- ^(î< -f- oj' )

^1 — ^3 du Cl — e.i

En l'intégrant depuis zéro jusqu'à to, nous aurons

/ cl n - — z du =

c 1 oj -:- T,

ei — e^

On a d'ailleurs

ce qui permet d'écrire la dernière relation sous cette autre forme

/ (In- //, du — -^ ' '■ = I do \J \ — /i-sin-o.

C'est cette dernière intégrale définie que Legendre a employée, en la désignant par la lettre E,

dx

(32) E = r 'd-0 y/i-/l2sin^ = f y^p^ ,'o ' ' '-0 y/i — ^-

Legendre considérait, en même temps, l'intégrale analogue, relative au module complémentaire,

(32 a) E'= / f/'iv/i— /^-'âin^'^ = / ^ dx = ^

Avec ces égalités (32) et (82 «), considérons aussi K = w v/^i — e-i 1 K' = — /ei — e^, et formons la quantité EK'-|- E'K — KR'. Nous obtenons (33) EK'^E'K — KK'= i( r.to' — r/to) = -•

C'est sous cette forme que Legendre avait trouvé la relation fondamentale entre les quatre constantes.

Il est utile aussi de connaître les expressions de dérivées de ces quantités par rapport au module, analogues à celles des dérivées de Vj, (jJ, par rapport aux invariants (IX ; 3-, 39). Voici comment on les trouve sans difficulté.

D'après la définition (32), on a

dE I f' sin-oc/o

(34) K - 2/.2 JL^,^-^ = ^ f d'^ v/i^^^i.^ = E. En différentiant E une seconde fois, nous obtenons

d-E i r' s\n'*od-^

C ' d sin'i C0SC5 , = / -y- , ' ' „ (/-p = o.

Posant A"-= x, on voit que E satisfait à léquation différentielle

(35) -/.(.- ■./||-^(I-•/.)^| + lE = o.