DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES A DOUBLE INDICE

Décomposition de p{nu) en fractions simples par rapport à pu. — Série qui se déduit de la formule de décomposition de p{nu) en fractions simples. — Séries à double indice. — Convergence de la série qui se déduit de la décomposition de p{nu) en fractions simples. — Développement de pu en série à double indice.— Observations sur le développement de pu. Double périodicité. — Développement de p'm, de p"u, etc., en séries à double indice. — Développement de Cm en série à double indice. — Développement de cru en produit à double indice. — Transformation de cr(u-f-a). — Nouvelle définition des fonctions elliptiques. — Nouvelle démonstration pour la décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples. — Equivalence des périodes. — Expression de cr, m, t^u, r^u en produits à double indice.

Décomposition de p{nu) en fractions simples par rapport à pu.

La lliéorie de la multiplication de rargument a introduit une fonction <|/«(f<), caractérisée par ce fait qu'elle a pour racines les ^jii^^mcs parties de périodes. Considérons cette fonction spécialement dans le cas où n est un nombre impair. C'est alors un polynôme entier par rapport à pu, du degré ^{n- — i). Le coefficient du terme du plus haut degré est n. En désignant par (v diverses périodes, on pourra écrire ^'«('0 sous la forme

qui met les racines en évidence. Il faut seulement préciser les

quantités (v, dont le nombre est|(/i- — i), et dont la forme gé-

néi^ale est

w = 2/na) -H lin' m'.