CHAPITRE \I. — SÉRIES A DOUBLE INDICE. ÔOO

Les entiers m et lyi' sont quelconques; ils ne doivent seulement pas être nuls tous deux à la fois, et il faut les choisir de telle sorte

que j) — acquière successivement toutes les valeurs, au nombre de

\{n- — i), que cette expression est susceptible de représenter. Ce choix peut être fait de diverses manières ; aiTctons-nous au choix suivant :

1° Avec m = o, prenons m =1,2,0,..., ;

2" Prenons ensuite, pour m, l'un des nombres i , 2, 3.

et, en même temps, pour /;i', Tun quelconque des nombres

Cette manière de choisir w présente un avantage qui sera, \\n peu plus loin, utile à une démonstration : le nombre n devant être

pris de plus en plus grand, les diverses quantités —, ainsi choisies,

resteront dans des limites faciles à assigner, elles auront la forme yoo:) +/>'(o', où les fractions p et p' seront comprises, la première entre zéro et + i , la seconde entre — i et -h i .

On a vu, au Chapitre IV, que p(jiii) s'exprime en fonction de pu, par une fraction rationnelle dont le dénominateur est 'l'f^ (u), et dont le numérateur est d'un degré supérieur d'une unité à celui du dénominateur (p. 100).

Cette fraction, décomposée en fractions simples prend la forme

p{iiu) = p-f- ap«<-^ V

et nous allons y déterminer les coefficients.

En supposant d'abord m infiniment petit, et développant les deux membres suivant les puissances ascendantes de u (IV, 4)» on trouve

Posant ensuite u=^ h^ et développant suivant les puissances

ascendantes de r, on détermine A et A' par le calcul suivant

p(nit) = p{iv -^ n r) = p ( ni>) = —^^

Ap — '' n I

Ap"-

ft- « 11' n

La formule de décomposition est donc la suivante

Série qui se déduit de la formule de décomposition de p{nu) en fractions simples.

Dans la dernière formule, chansi^eons a en -, et nous aurons

I II

Examinons maintenant ce que celte formule devient si, a restant fixe, n croît au delà de toute limite.

Pour le premier terme, sa limite est — ; car - tend vers zéro et

ij - vers 1 unité.

Dans un quelconque des autres termes, en y considérant w comme