CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE. 35j

une quantité fixe, on a des fonctions toutes infiniment grandes, et les parties principales sont les suivantes :

n iv- ' n tv3 ' '* « ~ i;'*

Ces deux fractions donnent ensemble

il/' Gu- l I 2

u'-(«"- — n'-)- (v-(w- — »'-) {u-^wy- ' (« — w )- iv-

On peut séparer cette somme en deux parties analogues

(«-T-tl')- H- (u II/- II'-

Ces quantités constituent deux termes de la série suivante

^ ' -^ ■^ U^ .^ \i u — iV )- iV-j

où <r prend successivement toutes les valeurs

( j) n = 2/ioj — 2/i (o , , > = o, 1= I, =n 2, n: . . . , 1= 3C ,

/) = /?'= o excepté.

Cette série /"(«) apparaît ici comme composée des termes vers lesquels convergent les fractions simples de la formule (r). La conclusion que Ton doit naturellement chercher à établir, mais qui, actuellement, n'est en aucune façon prouvée, c'est que la série /(it), prolongée indéfiniment, est convergente et qu'elle converge vers pu.

Pour obtenir la limite dun terme quelconque de la formule (i), nous avons considéré iv comme une quantité fixe, tandis que iv doit acquérir toutes les valeurs 2mco+ ^tn'M\ choisies comme il a été expliqué dans le paragraphe précédent. Non seulement les limites supérieures de m et m ne sont pas fixes, mais elles deviennent infinies avec /i, circonstance qui rend indispensable une démonstration ritroureuse.

La série (2) est d'une nature nouvelle, et l'on n'en a pas considéré d'analogues avant la théorie des fonctions elliptiques. Tandis que, dans les séries usuelles, les termes sont déterminés uniquement par leur rang, c'est-à-dire par an seul indice, ici chaque terme dépend de deux indices /?, n' . 11 nous faut d'abord examiner avec soin ces séries nouvelles, pour revenir ensuite à la série (2) et prouver alors qu'elle converge vers pu.

Séries à double indice (').

Rappelons tout d'abord, sans les démontrer, trois propositions relatives aux séries ordinaires, à simple indice,

1° Soient T|, To, . . . , T,„, ... les valeurs absolues (modules) de ?|, fo, . . . , t,„. .... Si la série ï, -j- ToH- . . . + T,„ + . . . converge, la série /, + /o^-- • •+ //«H-- • • est dite absolument convergente. Elle a celte propriété que sa somme n'est pas altérée si l'on intervertit arbitrairement l'ordre de ses termes, c'est-à-dire si l'on range les termes suivant une loi quelconque qui n'en fasse omettre aucun.

2° Si Sju est le terme général d'une série S et que Sm ait pour expression asymptoticjue t,„, terme général d'une série absolument convergente, la série S est elle-même absolument convergente.

On dit que s„i a pour expression asymptotique t„i, si le rapport Sm • t„i tend vers l'unité quand m croît au delà de toute limite.

3" La série i H \- h ... H +-..., dans laquelle l'ex-

posant a est réel, est absolument convergente si a surpasse l'unilé. Elle diverge, au contraire, si a est égal ou inférieur à l'unilé.

Nous allons maintenant considérer les séries à double indice, et l'on doit être averti qvie nous envisagerons seulement celles qui sont absolument convergentes, c'est-à-dire dont la somme ne dé-

(') Cette théorie est principalement due à Eisenstcin ; le mode d'exposition employé ici est emprunté au Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, par M. Camille Jordan (t. I, Chap. III, p. 161),