CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE. SSg

pend pas de l'ordre des termes. Voici comment on reconnaît leur existence.

Soit /,„ „ un terme général dépendant de deux indices m, n, recevant chacun une infinité de valeurs. Rangeons les quantités /,„^„ à la suite les unes des autres, suivant une loi arbitraire, qui cependant n'en fasse omettre aucune. Nous formons ainsi une série ordinaire. Si celte dernière est absolument convei'gente, sa somme reste inaltérée quand on intervertit arbitrairement l'ordre des termes. La somme des quantités ^,„__„, arbitrairement rangées à la suite les unes des autres, a donc une limite bien déterminée, indépendante de l'ordre. C'est, par définition, la somme de la série "Et,,,^,!, qui est alors absolument convergente.

D'après cette définition, il est clair que la seconde proposition, relative aux séries ordinaires, a lieu aussi pour les séries à double indice : si s„,^,i est le terme général d'une série S, et que s„, « ait pour expression asymptotique ^,„ „, terme général d'une série absolument convergente, la série S est elle-même absolument convergente. On dit que s,„^n a pour expression asymptotique /,«,«, si le rapport s,ii^u '■ t„i,u tend vers l'unité quand m et n dépassent toute limite, chacun suivant une loi quelconque, et aussi quand l'un seulement des deux indices devient infini.

Nous allons donner un exemple, celui qui est fondamental pour les fonctions elliptiques.

Soient a, b deux quantités imaginaires quelconques

et [i un nombre réel. La série que nous envisageons a pour terme général

{ma — no )?

et les indices m^n doivent acquérir toutes les valeurs entières et positives, dont on exceptera toutefois les valeurs simultanées m ^ n =z o. Cherchons la condition pour que cette série soit absolument convergente.

Prenons d'abord les termes où l'indice m est un nombre fixe M, et où l'indice /i ne surpasse pas (M — i)^ ce sont ainsi les termes 'm,o» '.M.n •••1 'm,m~i- Figurons, sur le plan, la quantité complexe

THÉORIE

(M« H- 7ih). Elle se construit ainsi {Jig. 6). A partir de l'orii^ine on porte la droite o A représentant M«, c'est-à-dire que le point A a les coordonnées M«, et Mf/o; puis, à partir de A, on porte de même la droite AC représentant nb^ c'est-à-dire que le point C a, par rapport aux axes transportés en A, les coordonnées nbi et nb'i,.

Fis. 6.

Prolongeons la droite AC jusqu'au point B, qui représente (Ma + Mè); les différentes quantités (Ma H- iib)^ ii prenant successivement les valeurs o, i, 2, . . . , (M — 1), sont représentées par divers points C, tous contenus dans le segment AB.

Faisons, d'autre part, la même construction en portant, à partir de o, la droite «, aboutissant en un point a\ puis, à partir de ce point, la droite fc, aboutissant en un point b. Les triangles oAB et oab sont homothétiques ; le rapport d'homothétie est le nombre M. Les rayons oC sont égaux à M fois les rayons oc qui aboutissent au segment ab. Parmi ces derniers oc^ il en est un minimum p), et un maximum Oo. De même, les rayons oC sont compris entre Mo, etlMpo- Les deux longueurs pi, po dépendent seulementdela disposition delà figureoa^, nullement du nombreM.

Les rayons oC sont égaux aux valeurs absolues de (Ma + }ib). Ainsi les valeurs absolues de ÇMa-\-nb) sont comprises entre Mo, et Mp^; et, par conséquent, les valeurs absolues des termes

'm, 07 h\,\i • • ' 1 ^M.M-i i^ont comprises entre — — -7, et

somme des prise entre

somme des valeurs absolues de ces M termes est elle-même com-

>! mp-