CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

minant est positif, changerai, Co, e-^ respectivement, et dans cet ordre, en — 63, — e^-, — Cj.

D'après la formule d'homogénéité ('-), nous prenons comme définition de p(iu), avec «réel, la relation

(i4) p{iii)=-- — pu,

qui entraîne cette autre

(i5) P'("0 = ip'ii-

On démontrera, exactement comme au Chap. II, que, pour un argument purement imaginaire, les fonctions ainsi définies vérifient les diverses relations établies juscju'à présent pour un argument réel.

La fonction p(iii)^ où u est réel, est elle-même réelle et comprise entre e.2 cl — oc ; Co est son maximum et l'on a

(16) p(xi'.^^e.2, p'w

La fonction p'(iii) est purer rir toutes les valeurs réelles

T r • // • \ • • • W (iu)

La fonction j) {lu) est purement imaginaire, et ' — : — peut acque-

Arguments complexes.

La définition de pu, pour u -— a 4- i a, se fait exactement comme au Chapitre II, par la formule d'addition, et l'on prouve que : 1° pu a une dérivée p' u satisfaisant à la relation

(17) p'^ii=4p^n - ff-ipii — bs;

2" ces fonctions vérifient les formules d'addition, et aussi 3" les formules d'homogénéité.

Périodes.

Nous voici maintenant au point où apparaît une dilTérence entre les deux cas distingués par le signe du discriminant. Les deux demi-périodes 0)2 et m[, correspondent, d'après (5) et (16), à une même valeur pour p; on a

Par le même calcul qu'au Cliapilre II [Addition des demi-périodes)^ on a

(e.2— Ci)(e,— €3)

P « — e, p( u — C02) —piif — Wj).

Changeons dans cette dernière relation u en (« — oj'^), ou en [u -T- to', ), et nous aurons

P(m-t- 0)2— W'j) = p(îf — 2W', ) — pîf.

Il n'existe donc pas seulement les périodes awîcoo -^ 2/?2'to'^, mais encore (2/71 -^ i)too — [im' -- i) <-<)'.,■ Considérons les trois demi-périodes

w T — to '., CO 1 ^- U) ',

(18) OJj = -^ =, Wo, W3 = — : =,

dont les deux extrêmes sont imaginaires conjuguées; nous allons montrer qu'elles correspondent à e, , Co, e^, exactement comme, dans le cas du discriminant .'positif, cela avait lieu pour w, 10" = oj — oj' et to'.

Les trois demi -périodes.

Soit posé, comme au Chapitre II (Quarts de périodes) e'\ — e- — a-, e — e^ ~ b-. e-j — eq — c^, et prenons a =^2, (i =^ 3, y — - i, par conséquent, 6- — — (^2— e,), c-=e2 — «"3- Nous avons déjà emplové la notation

«1 — — a -:- f ^, ej — — a — f\3, e, = 2 a, ,3 > o. Choisissons

(19) /c-o— 6'3 — y/ja-r- ip -^/? --igr; /? > O, 5- > O,