IL

formule supposant essentiellement que w ne soit pas une période. Par l'addition successive de 2w, on obtient, comme on Ta fait au Ghapitre VI (p. 182), la formule générale

(19 a) -^-^ ^ =:^e2r,Ut+w)^

■-à II

où l'on doit prendre le signe moins quand tô n'est pas une période, le signe + dans le cas opposé.

Nouvelle définition des fonctions elliptiques.

Après avoir introduit les séries '^ (Ghapitre VIII), nous avons été conduits naturellement à généraliser les fonctions elliptiques : pour ce but, il a suffi de supposer, dans les séries 3, les deux périodes remplacées par deux quantités arbitraires, dont le rapport fût imaginaire. Dans le Ghapitre actuel, nous avons emprunté seulement les notions établies avant l'introduction des séries 27. Nous pouvons, avec les nouvelles séries, généraliser aussi les fonctions elliptiques par le même moyen. G'est ce que nous allons faire, et la suite de notre analyse nous ramènera, dans le Ghapitre XII7

aux mêmes séries ^, qui se présenteront ainsi d'une manière moins directe, mais plus naturelle, et plus conforme à l'ordre historique.

Voici donc le problème que nous allons traiter. Désignant par to et co' deux quantités arbitraires, dont le rapport ne soit pas réel, nous prenons les trois fonctions pu^ Ç«, du, définies par les égalités

vu

w = initi ^ in M ; , >^o, zrzi,~z2, ...,zizx,

n = n'= o excepté.

Nous nous proposons de prouver que ces fonctions jouissent des propriétés signalées comme caractéristiques dans le Chapitre VI

(Propriétés caractéristiques de iu. p. i84), savoir

(ai) ^log^»=:r«, ^^Uc^-pu,