CHAPITRE m. — UISCKIMINAMS NEGATIFS. JJ

par la condilion que la partie réelle soit positive. En élevant au

carré, on a

3 a - - /■ 3 — /?- — 7- -r- ?. ipq ,

et, puisque j^ est positif, ^ a le même signe cpie p. C'est ce que nous venons de mettre en évidence dans (19)-

Achevons maintenant de fixer h et c, en prenant

c^p-^iq, b ^ liip — iq), z — ^i.

Soit maintenant

pi< = ^2 -^ if^c — e^ — z(p'--^ q- ).

On voit que pu est réel. Sis^^ — i? J^" e^t supérieur à e-j] il y a donc des arguments réels u. Soit un de ces arguments; il donne lieu, comme on l'a vu au Chapitre II, et comme on le retrouve immédiatement, à l'égalité

d'où résulte que — est une des valeurs de 1/ : donc

(20) ^^ ~i ^ Ci-^p'^-^q^-.

Soit maintenant î ^— - i ; p;^ est moindre que e,] il y correspond un argument purement imaginaire, et l'on a de même la conséquence

('il) p-^ = e-2—p--~q-.

En répétant le calcul fait au Chapitre II, on a en même temps

ziz p'u = iibc{c -■-- ib) = r- '-*£(/'"' -^ 7') [/> -^' i-q — '-{p — '^)],

quantité réelle ou purement imaginaire, comme il convient, suivant que t ■= — I ou J- t .

Q, I . . .1 , , , , (Oo . I / (0.)

uant au signe a choisir, u resuite de ce que j3 -^ et -p ^^

doivent être négatifs. On a donc

De là résulte

'^r ^ — 2(/? — Z5') = — av^U'i— eij-

Et, d'après le théorème d'addition,

]> -^ — Il — " \ w.^^ w, • • • ■ ' ■

= — ie-> — €-2 — 6'i = — {e^-T- Cl) = 63. Ainsi, suivant la notation (18 ), nous trouvons

(24) PW3=e3,

et pour les quantités conjuguées, sans qu'il soit besoin de recommencer le calcul,

(25) ptO, = 6'i.

Infinis de la fonction pu.

En supposant ii -- a -r i'J-, on a, d'a])rès la formule d'addition qui sert de définition,

lipa p i-i. — I .^2^ (,P« '^ ,Pi'^> — .s") — ,p'« ,p'f^ '''"" -^APO^ — pi^)'

Les quantités jjrt, p/a, p'rt sont réelles, j^'/a est purement imaginaire. Comme a est réel, jd« est supérieur à e^, et p^x, de même, est inférieur à eo.

Dans le cas du discriminant positif, on a vu, par l'emploi de la môme formule, que ytu est infini dans le cas seulement où jDrt et J3fa sont infinis tous deux. Ici encore J3« est infini dans ce cas, et l'on a ainsi des infinis de la forme

u —- im C02 -t- 2 m co 2 .