CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

De même à l'égard des deux autres termes, où u est remplacé par v; donc

= DP — ryu.

C'est la formule (22), que nous \oulions établir.

On ne manquera pas d'observer la grande portée de la démonstration qui vient d'être exposée. En prenant pour point de départ les définitions ( 20), nous avons immédiatement trouvé le théorème général de la décomposition en éléments simples pour les produits doublement périodiques composés avec les fonctions 3". De là se conclurait immédiatement la décomposition des fonctions rationnelles àe pu et p' Il en produits de fonctions i, et toute la substance du Chapitre A II.

Équivalence des périodes.

La définition des fonctions elliptiques par les formules (20) conduit à la notion d'équivalence des périodes, plus immédiatement encore et plus clairement que la théorie des séries 3?. Les périodes primitives 210, ato' se trouvent caractérisées, en effet, dans les formules (20) de cette unique manière : ce sont deux quantités telles que, si Ton pose

l'ensemble des quantités çv reproduise, dans un ordre quelconque, l'ensemble des quantités analogues, figurant dans les formules (20). 11 est dès lors évident que 2 63 et 2w' sont deux périodes primitives si l'on a en même temps

(!)'= a'w -i- 6'w', to' = a'ô) -T- ^'w',

c/, A, a', y , a, ^, a', fj étant des nombres entiers. C'est ce qu'on exprime en d'autres termes par les égalités

w = ato -^ bui', , , , ,

,, , «6 ^ 6rt = — I.

w = a oj -T- y o) ,

De plus, comme il n'y a aucune distinction entre co et o/, on peut supposer, sans restreindre la généralité,

ab' — ba' =^ -r- 1;

car il suffit, pour changer le signe du déterminant, d intervertir w et Ci' ou bien oj et oj'. Cette dernière convention apparaît ici comme ayant pour seul objet de laisser inaltérée la quantité ('/", 0/ — a/oj) quand on change les périodes primitives; car oh a

V) = «r, —br,', ., ., . , 7' 7 i\f ' ' \.

-fLù — r w = ( «y — ba )( ■/" w — T 10 ) ; 7; =^ a r^ — b T| ,

mais la suite de l'analyse actuelle, qui doit nous ramener aux séries 2î, présentera cette convention sous son véritable jour.

Expression de r'i », :r'2Z<, -^zu en produits à doubles indices.

Reprenons la formule (18) en l'écrivant ainsi

■^ Cl

Nous y retrouvons, au premier membre, cette même fonction de a dont nous avons appris à Ibrmer le développement suiNant les puissances ascendantes de u (VII, 48). Cette fonction est maintenant développée en produit à double indice y(i^, a).

Supposant, en particulier, pour a, une demi-période to^, nous avons, au premier membre, j^w. Voici donc le développement en

produit :

(3ij