CHAPITRE XII

DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS r ET H? EN PRODUITS SIMPLES.

Développement de r^ en produit simple. — Démonstration de l'égalité

Développements de ru, r, ?/, r^u en produits simples. — Expression des trois

quantités j'aie - ' et de v^e^ — e, en produits. — Expression de %u et de pu en séries simples. — Expression de T,to et des racines e^ en séries simples. — Les séries 2r déduites des développements en produits.

Développement de :fîU en produit simple.

Après avoir développé les fonctions ^ en produits à double indice, on est naturellement conduit à transformer ces produits par le groupement des facteurs. Le groupement le plus simple est celui de tous les facteurs où l'un des indices a une seule et même valeur. C'est celui que nous allons effectuer. On peut opérer sur l'une quelconque des quatre fonctions i; nous choisirons jo '^- Il faudra, pour ce calcul, se souvenir du développement de la fonction cosinus en produit infini. Ce développement est connu dans les éléments sous la forme

cos [ -X

TT( ' 2)' n = 1, 3, 5, .. ., 2;-t — I,

Il est valable, quel que soit j;, réel ou imaginaire. Nous l'écrirons un peu autrement :

(i) cosi-a7=jj(^.-i-^jr",

n =-±z\, — 3, . . . , rr ( 2 ;i. -4- I ), . . . , ±: >:. I^'exponcnlielle qui complète chaque facteur linéaire disparaît

SgO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

quand on réunit ensemble deux facteurs correspondant à deux valeurs de n, égales et désignes opposés; par conséquent, la seconde formule découle de la première : elle offre l'avantage de contenir un produit absolument convergent, formé avec des facteurs linéaires.

En même temps que la formule (i), nous aurons à employer les deux suivantes, qui s'en déduisent par la différentiation logarithmique :

Prenons le développement (XT, 3i) de j^m en produit; supposons a =2, c'est-à-dire cox^w + fo', et nous pourrons écrire ainsi ce développement

^ Il 1 / n \2

'''" a'.yU= l I ( I ^L__ ]e«W-H«'a)'"' 2 Uw + H'toJ ^

'^, =±i, ±3 ±(2,u-^i),...=:oc.

\ oici la transformation que nous ferons subir au facteur général du produit (3). Nous l'écrirons

/ iï w' — u\ H

2 Vo)/

n to ,

n co

Laissant maintenant à n' une valeur constante, faisons le produit de tous les facteurs obtenus en faisant varier Ji. Nous avons partagé notre facteur général (4) en trois autres, séparés par des . points. Le produit de tous les facteurs analogues au premier est, d'après la formule (i), égal à

r. n M — Il

- /i'io' cos -