TZ II O

lanK „

enfin le produit des facteui's analogues au troisième donne

Nous avons ainsi (en mettant n au lieu de n')

"■n '^ Il ^ni

n=±l, ±3, . . .. =h(2[Ji-l- 1).. . . ±v:.

Pour simplifier cette expression, examinons les facteurs C„- En

posant

nous avons

cos = - \q'' -r

'°S<^"-2icoJ / i„

De là résulte que la série SlogC„ est convergente ; car, un facteur invariable étant omis, le terme général s'écrit sous l'une ou l'autre des deux formes

gn g -Il

Ces deux formes, l'une pour n positif, l'autre pour /i négatif, mettent la convergence en évidence. Au surplus, deux termes, où les valeurs de n ne diffèrent que par le signe, étant égaux entre eux, il suffit de donner à n des valeurs positives, et d'adopter alors l'une ou l'autre des deux formes, suivant que la valeur absolue de fj est inférieure ou supérieure à l'unité. C'est ici le lieu de convenir, comme on l'a déjà fait au Chapitre VJII, qu'o/i choisit (>->' et o

de telle sorte que -!— ait sa partie réelle positive; par suite, la valeur absolue de g est inférieure à l'unité.

Nous avons donc

(,H^2m-lj2

Il convient de réunir cette série avec le terme e^ ; posant donc

nous aurons

On a manifestement B„ B„„= r , d'où résulte que les facteurs B,j disparaissent par le groupement des facteurs. Voici donc une première forme simple de développement :

(7) e-«"V2Z/=JJ

71 /l M Il T. n 10 -T- Il

cos - cos- •

„ lï 72 Co'

COS^-

2 OJ

/i = I, 3, . . . , (2[JL -h Ij, . . .-t- :o.

D'après la formule

cos (6 — c)cos(6-^c) = co?,-b — sin^c, on peut aussi écrire

sin2 — 2 w

COS^/l

n = i, 3, ...,(2[JL-f-i) D'après (5 a), nous avons

cosn ± sin — i + q"^±iq' sin —