CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS E.\ PRODUITS SIMPLES. SqS

Cette transformation change la formule (8) en celle-ci

(9) e-"""- 0-2 " = JJ

T. U \ -h iq" COS ^ q-'^

n = ] , 3, . . . , (o [x -h i ), ...,-!- :c. En posant

ÏTZII

on peut écrire le facteur général du dernier produit sous cette forme

J -^ 2r/« COS '- q-" = (i -^ q" z- )( I -^ q" z~- ),

et changer alors la formule (9) en la suivante, où apparaissent deux produits distincts, convergents séparément,

(,o, .-......«^n-r^^fn^^^"'

n = \. 3, .... ('aa^-ii, . .. -^y:.

On peut encore obtenir d une autre manière la séparation en deux produits distincts, avec les facteurs qui figurent dans l'égalité (7); mais il y a lieu de substituer alors au facteur de convergence B,i un autre facteur plus simple. Nous avons

logB„=/^'Ç^". 2 o> J „ 1 „

Si n est positif, nous écrirons

Si n est négatif, n =--/?i, nous écrirons, au contraire, i-ii i — q"i i-u / iq"^ \

i-u I — q'^ ÏT.u

loirB-m =

T / • '1 'i-fl^^ 2r/'"

J^a série, composée des termes - — - — el — ? est conver-

gente et sa somme est nulle. On peut donc réduire le facteur de

2tO

convergence à e '^ , suivant le signe de /?; ce qui donne la formule

7Z /lOJ U

COS-

iizu 2 [0

TT /ICO -+- U ..

r *-* w ^2to

cos -

L TT nco

COS-

(it) e-""' C, " = I I

Il reste à trouver la signification de la constante a ; c est ce qui va être fait dans le paragraphe suivant.

Démonstration de l'égalité r,to' — T/a)= —

Par la définition de du en produit infini, nous avons trouvé, dans le Chapitre précédent (XI, 19),

Au dernier paragraphe de ce même Chapitre XI, nous avons reproduit la définition de (jr^n

d'où résulte que l'addition des périodes 2co et ato' a pour effet de multiplier aussi d^ par une exponentielle, du premier degré en u. En particulier, supposant a = 2, c'est-à-dire tOcj^: too = to + (o', on détermine immédiatement le terme indépendant de u par l'hypothèse u = — 0) ou u = — co' ; d'où résulte

(a'2(î<-r-2a)) „,. , t2 i = -ir- g2r,7i+w) CTîM '