CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. SqO
Ces deux dernières égalités caractérisent entièrement les deux constantes t., 7/. En retrouvant ces mêmes égalités par les dernières expressions de s'a, nous obtiendrons deux relations entre rt, 7., 7/, et atteindrons ainsi le douljle but poursuivi : i** exprimer a par les quantités déjà introduites; 1" démontrer la relation qui lie 7,, 7/, u), to'.
L'une quelconque des formules (7), (8), (9), (11) met en évidence que e"""' ri 2 II- reste inaltéré par le changement de u en {u -f- 1M). On a donc
- ' —- -^ g'*au)i.u-i-u>)
Comparée à la première relation (12), cette dernière donne
Pour le changement de a en (u -hato'), prenons la formule (i 1 ). Posons
T. TIm' U
cos - ' '•"
F(«) = TT- ^^^ '"^ « = i, 3, .... (2a^i), .. ,
n COS
en sorte que la formule (11) s'écrive
Par le changement de u en ?/ -f- 2 to' , (to' — u), (3(o' — ii)^ (5oj' — u), ... se changent en — (oj'-f- ii),{^i — u), (3to'— n), .... On a donc, en désignant par A une constante qu'il est inutile de préciser davantage,
F(K--'2co')=Acos- '■^—^e~ ^ F(u).
Résolvant par rapport à F(/^) et changeant u en (a — 210'), on a de même
cos-
2 to
SgÔ PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
Changeons u en — //, nous aurons
¥(—ii — iio)=^ ^, e -'" F(— ?0-
cos -
De là résulte enfin
F(«-+-2W')F( — u — 2W') '-{n + Ui')
O'-i ( », -f- 2 w' ) ^ (H-(-(o'i e«'"+2(o')- ( 4rt w'— — I (H+tO')
Comparée à la seconde égalité (i'î), et a étant remplacé par son expression (i3), cette relation nous donne
■roi' i— ■2 • — — = 2 r, ,
T. 10 Ti CO =
C'est ce qu'on voulait établir.
Il est opportun de faire la remarque suivante : en établissant la formule (i i), on a explicitement supposé q inférieur à l'unité, en valeur absolue. Dans le cas opposé, en effet, la transformation du facteur de convergence B,^ aurait amené un changement du signe
iTïu
dans l'exposant de l'exponentielle e '-'" , comme on l'a vu plus
haut. Ce signe étant ainsi changé, on trouverait au lieu
de — pour (r,to' — y/w), comme il convient, en effet. On rencontre
la même circonstance si l'on emploie, pour faire la même démonstration, la formule (7), exercice recommandé au lecteur. La formule (10) se prête fort bien aussi à ce même calcul; le changement de u en Çu -+- 210') équivaut au changement de ;; en qz.
Le caractère général des produits infinis (■-), (8), (10), (11) consiste en ce que : i" par le changement de u en {it -h '^(>>), les facteurs se reproduisent, ou tels quels, ou changés de signe; 2° par le changement de u en (1/ -{- a^'^'), ils s'échangent les uns dans les autres.
