CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES

Développements de r'», r") «, a':j« en produits simples.

On pourrait répéter les calculs, qui viennent d'être faits pour jo?^, avec de très légers changements, et obtenir directement les nouveaux développements cherchés. Il est plus simple de changer la variable dans jo?/, en utilisant les formules ci-après :

^i II -T- 0)') , ,,, , -^m'

■i^lu — toi = r^ g-(ï]-i-r|' K«-w) — gr/w g-r," :f n

'^ ' a'(w-+- oj ) cfco "^ '

,, (j{u -h m) , ,,, ,, s'il) „ ,

■^^(u — tu )= ■ ~ g-(-r,-t-r/){M-M') — (,r/'w' g-r/w -^ „

j (to -i- (0 ) C'a)

a' 2(11 — 0) to' ) = - — ;, e'0"w" e-o"" s* ?<.

Ci'CO

Soient, pour abréger,

(i5) U = :î'a) e - , h'=:^(x>'e - , L"=:r'(.ij"c -

On déduit des formules ci-dessus les suivantes :

/o( u — M) — e ^ Jy,/3ll,

ilZ -. iTZ -In — uy

{ ' G) j /, ( u - ojO = e ^ jj„ e"^ ~^"~ /, »,

I (71/71 2u — oy'

1 foiu — to — 10') = e * p7, e * '" /».

Enij^loyons d'aljord la première égalité (iG) cl, observant qu'o:) ay";((o) = I , concluons

/", ( Il — to 1

Ji " = ~^-

Ji w

De là se déduit, pour chacune djs formes de ^j^u (7), (8), (9),

SgS PREMIÈUE PARTIE. — THÉORIE.

(lo), (i i), une forme correspondante de d-iU, savoir

où /^ = 1 , 3, . . . , (2[x + i), . . . , -t- oo.

A ces égalités, nous devons joindre l'expression de fi^, qu'il suffît de prendre sous une seule forme, déduite, par exemple, de la relation (9),

U' rn(i-72/.-i)p

En employant la seconde égalité (16) et observant encore que /) (o) est égal à l'unité, nous aurons

72 ( M — OJ ) - — - I /a ( ii U) )

On transforme immédiatement les produits ('^) et (i i), qui subissent un très léger changement, celui des nombres impairs /i en des nombres pairs. De plus, il se trouve un facteur isolé provenant de cos - -, lequel, par le changement de u en (u — co'),