CHAPITRE III. — DISCRIMIXAMS NÉGATIFS. "j
Mais, maintenant, il y en a d'autres. En effet, dans le cas du discriminant positif, jjrt avait e, pour limite inférieure, p^a avait e-^, pour limite supérieure; ces deux limites étaient séparées par un intervalle infranchissable, en sorte que pa — p^'a ne pouvait être nul. I-ci, au contraire, les limites, inférieure pour j)«, supérieure pour pi'a, coïncident. Donc jd?< est infini encore dans le cas
Alors par suite.
u = (2/« — i)w2 -r- {ini -- i)a)',.
Donc les injinis de pu sont
u = /« wi — ni co.
OU m ET m' soisT de .même parité; ceci, par l'introduction de co, cl 0J3, peut s'écrire
et l'analogie avec le cas du discriminant positif est ainsi rétablie.
On déduit de là, comme pour le cas précédent, que les valeurs
de u satisfaisant à l' équation pu^^pv sont toutes comprises
dans la forme
Il ^^ — V -r ami wj-f- 2/??3 0j3.
Il a été prouvé, dans un précédent paragraphe de ce Chapitre, que u-pu a l'unité pour limite quand pu converge vers zéro par des valeurs réelles. On peut vérifier qu'il en est de même quand u converge vers zéro par des valeurs quelconques. A cet effet, prenons la formule d'addition sous la forme (I, 23)
Il ( « — t' ) =^ ■ — --^ — ' i ,
et supposons u =^ v -^ z^ z étant infiniment petit. La partie principale du numérateur est
4 (p- '■ — i ^2 )P t' — ^3 -r- p'2 V = ip'-^V,
et celle du dénominateur est 23- p'-r. La partie principale du second membre est ainsi —■, et l'on a bien
lim(jî2p-)„o = 1.
On en conclut immédiatement aussi
(26) lim(z< -- 2W1OJ1 — 2/7230)3)2 p;/ = I, pour u ^ 2 7?ii Wj — 2m3 0j3.
La fonction pu passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires.
Cette proposition s'établit ici par la même analyse exactement que dans le cas où le discriminant est positif (Chap. II, p. ^i). La conclusion résulte de ce que la résolvante en ^ a des racines réelles.
Il y a cependant une légère modification dans la remarque placée (p. 42) à la suite de la solution. La résolvante n'a plus ses quatre racines réelles, mais deux réelles et deux imaginaires conjuguées. Ces racines correspondent aux quatre couples d'arguments
a = a — ojj,
On se rendra parfaitement compte de ces circonstances si l'on observe ce fait : en considérant a, b, A, B, A', B' comme des quantités quelconques, réelles ou imaginaires, on obtient par l'analyse employée (p. 40 la solution du problème suivant : Elaiit donnés
ik = p (a -^ b) — p (a — b), 21B ~ p (^a -i- b) — p (a — b), ■2A' = p'(a-^b) — p'{a — b), 'j. iB' = p' {a ^ b) — p'((t — b),
trouver pa, p'a, pb^ p'b. Ce problème n'est autre que celui de la division de l'argument par 2, posé d'une manière particulière. Le degré de la résolvante sera expliqué Chap. IV.
Variation des périodes avec les invariants. Rapport des périodes ( ' ).
La demi-période réelle lOo et la demi-période purement imaginaire (o!, ont pour définition les deux intégrales
gtx — g^
Sz
(') Ce paragraphe cl les suivants pcuvcnl être omis dans une élude sommaire.
Cn.VPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS. 79
Si, dans la seconde, on change x en ( x — aco), on obtient cette expression
Pour reconnaître celte forme du polvnùme sous le radical, on n'a qu'à tenir compte de la relation 4 e\ — 02 ^2 — ^3=0; car on a identiquement
\{x — le^f — gi{x — le^) -r- gi
= 4a;5 — ^2^7 — ^3— 2462(^ — ^2)- — 2(4^2 — ft^eo — ^3)-
Des expressions (27) et (28) résulte immédiatement la conséquence suivante : le rapport -^ est supérieur, égal ou inférieur à
l'unité suivant que e-^ est positif, nul ou négatif, suivant aussi, en d'autres termes, que g-^ est positif, nul ou négatif.
Voici encore une autre conséquence immédiate. Supposons d'abord e-^~^-> o, et admettons que le discriminant, toujours négatif, converge vers zéro. Les deux racines conjuguées e, et e^
convergent vers — — • Comme cette quantité, d'après l'hypothèse
go > o, est en dehors des limi tes Co et ^- x , ojo conserve une valeur finie. Mais les racines — <?i et — e^ du polynôme soumis au radi-
cal dans la première expression de -^ convergent vers — ? qui est dans les limites de l'intégration; par suite, — devient infini.
Les mêmes faits se passent en ordre inverse quand Co est négatif. Donc :
1° Quand gi est positif et que -^'^ décroît de -;- 1 à — 00 ,
^-^ varie de - ce a — i, sans que nous sachions encore si cette ia)2
variation a lieu par continuel décroissement ;
2" Quand g^ est négatif et que — ^ décroît de -i- i à — oc ,
r^ varie de zéro à -hi, sans que nous sachions non plus si cette
variation a lieu par accroissement continuel.
Pour faire disparaître cette lacune, mettons en é\idence la racine
8o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
<?2, en écrivant
4 x^ — gox — g-i = \{x — e',)[x-^ e:>x ^ ~
Changeons maintenant, dans (ay) et (28), x en e-iX^ eV faisons la supposition eo^ o- Nous aurons alors
/— /^* dx
/ — LU., / dr
/ ^:r (^2 i)^ÇL(^i) 6(^-1)2 Soient — ~ — i^ les deux racines imaginaires e,, Cn. On a
La quantité ■— peut donc prendre toutes les valeurs depuis \
jusqu'à + ce . Quand elle croît ainsi, les deux intégrales définies décroissent toutes deux; mais le décroissement relatif est moindre
pour la première que pour la seconde, en sorte que ^-^ décroît.
Pour prouver ce fait important, faisons, dans les dernières intégrales, le changement de variable
La substitution directe donne pour résultat
/- V — r"" do
do
') — 3v/2 + Y-t-[2(2-i-Y) + 3v/2-t-Y]cos2cp La première peut s'écrire
/- 2 r~- do
Va-HYc/o /i — /m- sin2(f
