CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. -log

on obtient ce développement

n"( ;; ) = —, q'y-'li :■) = \

(r — r/2!^)(i— y2li-2) , / , -r- ' — n* I z*

Nous concluons alors que, u devenant infini, ^'(•:;) a pour limite la somme de la série

MV » = . ^ , (.>- i) - r {.■■-. ^) -^ . . . - 'I" (-■'- i,) - • ■ ■ ■

Enfin, par la transformation des facteurs de '^(^), déjà faite pour ceux de Ci (; I. on conclut

(43) "^^iV = i-^ iq cosiVT. -^ iq* cos^v- -^ . . . — a^''" cos 2vt;- -i-. . ,

(44) 2rjc = rT(i — i-1" cof-ivT. — q'-" il 1(1 — 7-"},

En dernier lieu, le changement de r en (y -\-^) donne

(45) S^ot"= I — iq QOSIV--^ xq* C0S4^'~ ^- . . . — ( — I i'iq"'' COS2Vf--!-. . . ,

(16) ^u' = I I (i— ■'•7" cos2i^- — 7-"j I I (i — '7"')-

Si nous donnons à ç' la valeur zéro, dans les expressions de .^7^, .:?o. J.3 en produits, nous retrouvons les produits infinis désignés par les lettres Qf-ï-S) :

(Î7) 2?„=Q|Qo, 3;2=27*QîQ„, 2;3=Q|Qo, (1^ = 0).

Ces formules rendent manifeste la coïncidence des expressions (28), obtenues dans le présent Chapitre pour y^a — ep, ...,avec

/|lu PREMIÈRU PARTIE. — THÉORIE.

celles qu'on a obtenues précédemment (VIII, 46). Enfin la formule ( 'î'>) donne immédiatement pour t = o

(\S) ?j\ = i-rj' Ql, {V = o).

On voit par là que l'identité Qi QoQ;)^ i coïncide avec Tidenlilé (4^) 'lii Chapitre VIII, de même aussi que l'identité (3o) du (lliapilre actuel coïncide avec l'identité (4i, «) du Chapitre VIII.

CHAPITKE \III. — DÉVKLOI'I'EMENTS EN SÉRIES TKIGONOMÉTRIQLES. !\ \ l