DEVELOPPEMENTS EN SERIES TRIGOXOMETRIOUES

Développement des fonctions doublement périodiques de seconde espèce. — Autre développement des fonctions de seconde espèce. — Troisième développement des fonctions de seconde espèce. — Développements de ^i/, de ^{u-r- u'), de pu, p' u, etc. — Sur la racine réelle de l'équation 2r'j ( .^-, i v^) = o. — Développement de logrif et de \og~,jU. — Développement des douze quotients z',j,u: T'ait. — Développement des inverses des fonctions c. — Développements à convergence rapide pour les fonctions de seconde espèce. — Développement des inverses des produits formés avec deux fonctions r. — Développement des racines e„ et des invariants. — Développement des quantités y/e„ — Coj etc.

Développement des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

Nous avons déjà parlé plusieurs fois des fonctions de seconde espèce, qui ont une très grande importance, et pour la théorie el pour les applications. Leur définition a été donnée au Chapitre \ II. Elles ont pour type général

/•/ -Un ^ <•) ,

fiin ^ ep".

Prenons ici pour la constante p une valeur particulière

Posant alors

ITZn , 2 (1)

el employant la quatrième expression (XII, 22) de la fonction -3*

en produit, nous aurons

w .- 1 — "' ^-' TT {i — g"'){i — g'"z-^f^) -rr

m ni

fn = -i, 4i •■■, ilJ-, ••■, -i- =c. Considérons, d'autre part, la fraction limitée suivante

n'(i — a") n(i— ^"xy)

II(I— a".î:)n(i— a"j)

dans laquelle, pour former les divers facteurs des produits, on donne à n les valeurs

rt = — a, - ;ji -1- I , — |X -r- 2, . . . , . . . — ( [Ji — I ), ;jt,

c'est-à-dire celle des entiers successifs de — a à + ix inclusivement, sauf toutefois pour le produit H' où l'on ne donne pas à n la valeur zéro.

Nous allons d'abord reconnaître que cette fraction (i), si l'on y fait croître [j. au delà de toute limite, ne diffère pas de la précédente. En effet, si l'on y sépare d'abord les facteurs répondant à n = G, et qu'on y mette en évidence ceux où n est négatif et égal à — n', on pourra l'écrire ainsi

I — .ri' -|-T (i — a")(i — 5t''3:j) TrTr (i — 2c-«')(i — t.-"' xy )

\ '■^'■'^' ■^'~{\ — x){\ —y)\.L (i— 'x"x){i — a«7) JLX (i— t.-'^' x){i— a-'^'j )

' \ — xy -|-|- (r — a")(i — a"xr-)TX(i — =t'* )(i — a" a^^ijK"' )

~ {i — x)(i—y)LL(i— a«j")(i— a"r) J-l (i — a«'a7-»)(i — a«y-i j'

et les nombres n, n' seront les entiers positifs i, 2, . . . , jx. Si maintenant on suppose

(3) '^^q-, x = z\ y = i-, on a évidemment

(4) lim?(-2?, 7) = — --^/('O- |j. = 00 i •'■

En faisant donc subir une transformation quelconque à Z'(x,v) et prenant la limite de la formule obtenue, nous aurons obtenu une transformation de /(;/).

Nous allons, pour ce but, décomposer 'S)(x,y) en fractions simj)les par rapport à la variable j^.