CHAPITRE XIII. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIG0N03IÉTRIQUES. 4l

Il existe d'abord un terme C indépendant de^', savoir

En second lieu, la fraction dont le dénominateur est (i — j) a pour numérateur

II'(i — a«)n(i — a"ar)

ri(i — a"j:) rr(i — a" > ~ '■

En troisième lieu, la fraction dont le dénominateur est (i — ^0 ) a pour numérateur

Nous y désignons, au dénominateur, par II' le produit des facteurs indiqués, en évitant seulement celui qui serait nul (/? = v). Prenons d'abord v positif; supprimant les facteurs communs aux deux termes de A^, nous aurons

I — a!-"- I — a!J--i i — aP--'"'^' i — ix.-\>--^ .r \ — a-!J---.x i — 'j.-\i~''.r

* ' ~~ 7^ uP-x 1 — aP'-i .r ■ ■ ■ I — aH'-v+i x i — a-p-- ' i — olV--- ' ' ' ~ i — a-p--^ '

C'est le numérateur de la fraction

Enfin le numérateur Bv de la fraction

ne diffère de Av que par le cliangement de ^ en -, comme il résulte de la forme (•>.) donnée plus haut à '^(:r, )); car ci(.r, y) se reproduit, sauf le signe, par le changement de x, \- en - •, -• Nous avons ainsi déterminé tous les coefficients de la formule

' ^ • 1 —j j^ i — yyy ^ i — 0L-''y

Modifiant un peu la forme extérieure du second membre, nous l'écrirons

4l4 PItEMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Xous allons maintenant examiner ce que devient le second membre, quand <^ devient infini.

En supposant d'abord, pour v, un nombre fixe, et a étant, en valeur absolue, moindre que l'unité, on voit immédiatement que Av converge vers x^' : car les facteurs du premier groupe, au second membre de l'expression (5), convergent individuellement vers l'unité, et ceux du second groupe vers x. L'expression limite de A^a'' est donc yyx^', et l'on est conduit à faire l'hypotbèse que la valeur absolue de y.x soit inférieure à Vanité. Moyennant cette Inpolhèse, la série illimitée

est convergente. Chacun de ses termes, de rang déterminé, est la limite du terme occupant le même rang dans la suite limitée

D'autre part, en écrivant Av sous la forme (5 ) modifiée ainsi

■ ' ■ (, — 2|j.-v--ij^)(, a;J--v-H2:r )...([— a!Aj") (i — -y.;J-+i)(i — x'^^^ ) . . . i \ — -xV-^'')

on voit que le quotient Av : x^ est composé par le produit de facteurs appartenant aux trois produits illimités suivants, tous absolument convergents,

n(.-«"), nc--^"^), tii'-j

donc A./, x'^ est limité, en valeur absolue, et la somme des termes qui, dans S', correspondent à des valeurs de v supérieures à un nombre donné N, est comparable à la somme des termes correspondants dans la série S. Elle est donc, par le choix de N, aussi petite que l'on veut. Donc la limite de S' est égale à la somme de la série S.

La dernière somme, au second membre de l'expression (C) de