CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

'j(jt:. )'), difiere de la précédente par le changement de a\j- eu -

et - • On doit donc faire maintenant la supposition que la valeur

absolue de — soit inférieure à l'unité. Cette somme a, dans ces conditions, pour limite celle de la série

V 1 Vi — 1

La double hypothèse laite précédemment sexprimc j)ar les inégalités

(;) ial<;x|< '^

Par cette notation |x|, assez usitée depuis quelques années, on entend \diValeur absolue (modulej de la quantité .r placée entre les deux traits.

Il nous reste à trouver la limite de C + ^A.^. Pour ce but, nous supposerons d'abord |a:|<;i, hypothèse compatible avec celles qu'on a déjà faites (7), et que nous ferons ensuite disparaître. L'expression de C étant écrite ainsi

c = i!^ n-'^^^ TT— --^ -. « = .,..

nr^^.ni^

on voit que C converge vers zéro. En même temps, par les raisons invoquées tout à l'heure pour S', on voit que - Av converge vers la somme de la progression

Donc

lim (C ^ ■ -^ Z Av) ==--+- -^- = - ' ^^-, a = =c - ' 1 I — X j. i — X

Cette formule est prouvée sous le bénéfice de l'hypothèse

4l6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Mais, comme cp reste inaltéré, sauf le signe, par le changemenl

de x,y en - 7 -■, et qu'il en est autant du second membre (8), la X y

formule se trouve aussi prouvée pour le cas

c'est-à-dire

En résumé, la généralité de la formule (8) est établie sous la seule hypothèse (-). Si nous remettons maintenant pour a, x^ y les quantités (3), nous avons, d'après l'égalité (4),

(ÏV (jU

fO

ITT

Z — z-^ ' it—t-^ Zd\ — q'^'H

C'est ce qu'on peut écrire encore sous la forme suivante :

(ic>)

^(m -h v) tfc (Su

col

col

^2« sin ~{nii ^ V } — q'*" siii — nu

— a^c^'^cos 1- q'*"^

La condition relative à la grandeur de :: s'exprime, comme il suit, pour l'argument a. En désignant par R(.r) la partie réelle d'une quantité complexe quelconque x^ c'est-à-dire

X ^= Xi-\- ixo^ K{x) = Xi,

iTZu

iTZtù

2 VfW/

CHAPITIîE XIII. — UÉVELOI'PKMENTS KX SÉRIES TlUGONOMÉllUyUKS. [\\-J

cl la condition ci-dessus se traduit par cette autre

Dans ces limites (i i), la for nm le (lo) est exacte.

On ne peut manquer d'ol)server le fait suivant : la fonction qu'on \ient de développer ainsi est symétrique par rapport à ii et r, tandis que les développements ne présentent pas cette svmétrie. Il est donc désirable de transformer les seconds membres, pour mettre la symétrie en évidence. Mais il est manifeste qu'alors il faut faire, surr, la môme hypothèse que sur u. Nous allons donc supposer maintenant

Si nous développons, suivant les puissances ascendantes de /, la fraction

i — ff-'f^ ^ V y y /'

ce développement est convergent d'après l'hypothèse, et son terme général est q-"'" z'-" t'-'"^, où n et m sont deux entiers, au moins égaux à -f- i . Chaque terme de l'avant-dernière somme dans la formule fg) donne lieu à un développement analogue; de même

aussi, sauf changement de ^ et ^ en ^ et-, chaque terme de la dernière somme donne un développement analogue et convergent d'après l'hvpothèse. Il est, pour ainsi dire, évident dès lors que la formule (()) se change en cette autre

ni )

qinni ( -1:i liin . -~l/i ( — 'à/h )

Pour établir ce fait en toute rigueur, il suffit d'observer que la I. 27

4l8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

série, à double indice, ainsi obtenue, est absolument convergente. On a donc le droit, sans en 'altérer la somme, de grouper les termes arbitrairement : si l'on y réunit tous les termes où ; est affecté d'un même exposant, on retrouve précisément la formule (9).

Cette dernière égalité (12), si l'on introduit, au second membre, les arguments u, r, acquiert la forme élégante

•/] Ui'

-^ '-e '^ cot h col —

<jV <J H 2 (.0 \ 2 M 2 w/

^^pl, 2, .... ---.

valable sous les conditions

ilO

Si l'on introduit, au lieu de a*, la fonction 2?,, et qu'on remplace — , — par u, (^, la formule (i3) s'écrit alors sous la forme

- 4tî 2, '7^'"" sin 271 (np -*- mu),

R(;)< )[; "XR!;

En particulier, le développement (i5) est valable pour toutes les valeurs réelles de u et r.

On doit remarquer que les limites imposées aux variables u et V dans ces développements ne s'opposent pas à ce que ces développements puissent cependant servir au calcul numérique dans tous les cas. Ceci résulte de la propriété que possède la fonction de se reproduire, multipliée par une constante, quand on ajoute une période à l'un de ses arguments.