CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIES TRIGOXOMÉTRIQUES. /j

Autre développement des fonctions de seconde espèce (').

On peut varier les formules précédentes en ajoutant les demipériodes aux arguments u et v. Dans les séries (9) et (12), ceci

revient à changera en iz ou en q'-:^ et de même pour t. Le changement de c en iz^ ou de t en it donne un résultat qui s'aperçoit immédiatement.

Mais, pour le changement de z en q'-z, on peut modifier les séries d'une manière notable en développant les termes qui ne sont pas soumis au signe sommatoire, comme il suit :

(.6) li^:i^ = l-^±^=-

(jC développement est valable si la valeur absolue de qz- est in-

\ férieure à l'unité. Le changement de z en q'-z transforme déjà en

|<y-| et|y - 1 les deux limites imposées à |;:| pour les développements précédents. Si l'on emploie la nouvelle transformation, |;|

I il I -il devra être compris entre l^^l et |^ ^\.

La plus intéressante des formules qu'on obtienne ainsi résulte

du changement simultané de z- et t- en q z- et qt- dans la série

(i-î). D'après le développement (16), employé pour t comme pour

;;, on a d'abord une série de termes avant la forme

ce qu'on écrira ainsi

Parle changement de z- et l- en q z- elq t'-,[ei termes q-"'" z'-" f-' de la formule (12) donnent la somme suivante

zl s/ q -^

(') II faut observer que les diverses formes de développement sont ducs uni- (luemcnt au rôle dissyuiclri(|ue attribué ici aux deux périodes. Au fond, il n'cxislc (lu'un seul développement; les autres offrent sculenicnl des différences de forme.

OÙ n et m prennent toutes les valeurs positives depuis l'unité. Cette somme, jointe à la précédente, conserve la même expression extérieure, mais II et m peuvent alors y prendre les valeurs

rt = o, m =^ o.

Enfin les termes q'^'i"^ z^'-" t"'-'" ("ournissent la somme suivante, où n et jn sont changés en (n -f- i), (m -h i),

z t sj q -^

et dans laquelle n et m peuvent aussi acquérir la valeur zéro. Nous avons donc

j ( r -t- oj' ) 3' ( M -)- to' j

[ = 1, 3, 5, ..., (■^li. + l), .... -T- :>:.

Pvéduisons maintenant le premier membre au moyen des égalités

0' (' t' -f- to ) = j'co' tî's (^ e"''i''', 3'( a -+- co') = j w' j 3 « &■>'" ; nous aurons, pour l'exposant de e,

to

=: ( Y, to '/"j M ) -\- r, to

to to

et, pour l'exponentielle,

ts/q

(. w gr/io'g 2 O) __ ^ (u çT/m'

On voit donc que la formule (17) peut aussi s'écrire ainsi

e "1 w ifdi-i-v) — rr «~ -^ , / r