CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS. 8l

on a posé

, -yA-y. — y) — 3 y/a — Y

Cette quantité est plus petite que l'unité, comme il résulte des données d'après lesquelles le radical ne peut jamais devenir imaginaire pour des valeurs réelles de '^. On le vérifie d'ailleurs; car la condition /.-^ << I donne justement ■; >|- • Elle est aussi positive.

Quant à la seconde intégrale, elle s'écrit de même

* V2-HYt/o V I — /ti-sin2-^

on a posé

Par cette transformation, le rapport -t-^ apparaît comme coïn-

cidant avec le rapport ^^-^ des périodes au cas du discriminant positif, avec un module A,, dont le carré k'^ varie de o à ^ quand v croît de l" à + X . D'ailleurs k-\ est toujours croissant avec v.

Dans la forme précédente, on voyait que y^coo et sje-i ~ décroissent quand y croît; dans la forme actuelle on voit que yeo V 2 -i- Y too croit avec y, mais que \/e-2, y 2 -p v -^ décroît. 11 en résulte clairement que ^-^ décroît quand v croît.

D'après l'égalité

4e5 — giC-i — g3=^ o,

on peut écrire

La fonction r-^ décroît continuellement de ^ à — ao , quand

z croît de V à -f- x . Donc ' "'., décroît constamment de -f- i à

, quaau que :

— oc , quand -^ croît à partir de {. Nous savons donc maintenant

g3 étant- positif et ■ ' '., décroissant de + i a — x , - -- cie-

Q,y f, J lOJ-2

crott constamment de -^--jz à h- i ( ' ).

Comme 11 suffît de changer 0-3 en — ^3 pour échanger coo et

-^j nous pouvons ajouter que

lecrvissuni ue -t- 1 a — :/: , constamment de zéro à — i

0-3 étant négatif et ^ % décroissant de -t- i à — x , ^ c/-o<< "^1 Sî '■^2

Cas où ^'2 est nul.

Il existe ici un cas particulier fort remarquable qui ne se présentait pas pour un discriminant positif; c'est le cas g2 = o, impossible dans l'hypothèse gt — 2- 0-3 >> o. Les formules précédentes exigeraient des transformations pour faire reconnaître la valeur simple du rapport des périodes en ce cas. Mais on y parvient tout naturellement ainsi :

Dans la formule d'homogénéité

pl^; i-^V2, [j-'^^aj; = ;-^' p("; ^2, ^3),

supposons g2= o, et prenons alors pour [j. une racine cubique de l'unité. Soient

les racines cubiques de l'unité; faisons [j.= a-, il vient, pour ^2=0,

(') On peut éviter le calcul qui précède en se réféi-ant à l'égalité

dg^ 2 o)|

qui se trouvera démontrée au Chapitre IX. Ici A est le discriminant négatif

^ — g\ — 27^3. Il résulte de celte égalité, g^ étant positif et supposé constant, /

Uo . ...

que la dérivée du rapport -r-=- » par rapport a g.^, est positive; donc ce rapport est

croissant avec g^, g^ restant constant et positif. C'est ce qu'on vient de prouver par un calcul direct.