I — 2^ ' COS

sin -^ {in\- -^ a) — q'" sin -^ ( wi> — it)

i — 2q'" cos — -^ Ç

Les lettres /?, m désignent ici tous les nombres impairs positifs. Les limites à considérer pour u, v ou ;. t sont les suivantes :

Pour |-'„ 1^1, \\/q\ et 1-^

VonvR(-^),R(^) -^(^) et -^r(^)-

Dans les séries (i8) et (19) les deux arguments doivent, tous deux, satisfaire aux conditions imposées par ces limites. Dans les séries (20) et (22), l'argument u seul doit y satisfaire; dans les séries (21) et (23), c'est au contraire le seul argument t' auquel ces conditions sont imposées.

Troisième développement des fonctions de seconde espèce.

Nous allons maintenant dans la série (9) changer seulement l en t\/fj, par conséquent ç en (f + w'j. El d'abord la fonction, qui

est au premier membre, se transforme ainsi

(fiii-i- (■' -4- co ) - - — i^ C^di-^ c

tf ( r H- m' ) a' a c'-iV a' u

Nous ferons disparaître le dernier facteur en multipliant le second membre par :. Effectuant cette multiplication, laissant de

côté le facteur —, que nous rétablirons ensuite, changeant t- en

Cl) * ' O

qt-, et modifiant la forme des deux premières fractions, nous transformerons ainsi le second membre (9) :

Mais on a éxidemment

qt^-Z ^ ^ q%n+ï ~1n+\ fi ^ ^ ^2/;-l -2/^-1/2

2^ T— Gr2«-t-l ^2

l — qt- Â^ I — 5r2«-l-l;2 ^ |y2«-1^2

11 suit de là

^^ ^ "^ [; — ^-1 ~ ^ V I — ^2/^-1 ^2 i^2,,-i^-2 yj

sin —[{■?.n — \)u + acl — q-"-^ sin — (2« — 1 )ii

2 O) . TI M (O .^al

sin - — I — 2^2"~i cos h q'*'

(27) — — • -f- — 7 7<2"-i''" sin -^ r('2« — \) u -{- 2 tm- ]

sin —

iTiI" I ^/ q'"(-"'z q'" t-'^'" z-^ \

~ "w Iz — ^~i "" ^ \ i — q-"'z''

sin — (Q.mv -i- u ) — q-'" sin — ^ (itnv — u)

Sin — I — 27'-'" cos — -\-q*'