II- n = I
■Jtoi ni ^ 1, 4) 'J) • • • •
cotrt — 4 > ^ sin ma = — i/p f< — ^o
2 OJ j I î«
2 oj I c^ ;< , -^ , H q"^ . 1 oj /—
— -TT- = tan£r« -^ i > ( — n - — ^ sm /?îa = — v/p( " -r- oj) — ^i.
- U'- s'ait ^ I — 7'^
- U L" ^,« '.éij' ■' 1-7" ^^ .v^-^-.^'z ^.15
2C0 Le * JiM , v^ V^7" 210 , ;^ —
- L'L" s'a" ^>-di^7« - ^ - ■' ^
î >(^i) " — -^— ^sin«a 1-= — - y/e2 — ,p(«-i-o)),
— ■ = ~. — • — 4 7 — 5inn« = — VP" — ^zi
- :! Il sinrt ^^1 — 7« -^'
■>.to L"e* :ïoii I , '^ , ^~ 7" 2 0j /— ;
- LL :fiu cosrt ^ 1 — 7" - '^ -^ ^
210 r'iit I , "V^ 7" . 2(0 /
— -^ = -. 4 7,—^ — -sinna = — ^pu — ei,
~ ^u sina ^mà \ -^ q"^ T.
2(0 L 6" :f3ll I , V^ , ^~ 7" 2(0 ,—
- LL' :fi» cosrt ^^ 1 — 7" r. ^ '
2(0 L"e* -i-^ii , V^ v/7'" 2(o , ; T-
r UL' r-.n
--.-,, — -4 7( — T — cos/?m = — \/e, — viiu — Lo )■
LL" 3-2?; ^mà ' T-h7'« - '^ ' ■* '
Ces formules ont une grande ressemblance avec celles qu on a déjà obtenues pour développer !^îf et X^(^ii -h to' ); nous transcrivons ici ces dernières (3 i), (34), avec les notations abrégées actuelles
' ^ u = cota — X 7 — sin/«a,
cota — 4 2^
sin ma.
Changeant, dans celles-ci, u en (« + co) et retranchant les quatre égalités membre à membre, deux à deux, puis tenantcompte de la formule d'addition pour les fonctions ^ (V, i6), on obtient d'autres séries analogues, qui s'expriment encore par les quantités \lpu — e%-, par exemple
M {e.2 — e^)\/pu~- ex /^ q'
— ^ ^ y ~r ^ = 4 > — - — ;— iinina.
■^ y/p II — e-i v/p u — 63 ^^ I 7'"
Mais il n'j a aucune utilité à reproduire ici toutes ces formules, que l'on peut retrouver aisément et qui n'offrent en réaUté aucun élément nouveau.
Des formules (43) on peut en déduire d'autres encore, se rapprochant de celles qui donnent logo'aW (36), . . ., (3g). On les obtient par voie d'intégration. C'est qu'en effet on peut exprimer en termes finis les intégrales des douze fonctions (43). comme le uionlre la formule suivante, focile à vérifier :
d . \/ex — ^3 \Jei — C:) /p u — e^ , p
— arcsin-^;z= = , = y/^i — JH«-^ ^ )■
«» \/p 11 — 63 Vpu — ei
Par des changements évidents, on voit que les douze fonctions
/p « — Col, \/p[u-^ojp)—e.^
sont ainsi les dérivées de fonctions connues. On peut aussi, et c'est la même chose au fond, exprimer les intégrales par des logarithmes, comme on le voit par la relation
— log(v/p" — e2-+-v/p" — ^3) = — \/p« — ei.
De cette dernière, on déduit, par exemple,
f\/pu — e.y-+- Jpu — e.j . \ ,V 7' log y^ '-^r^^ co sin aj = ^2^ -^
et, de la précédente,
\/ei — «3 ,v^ /v'" sinma arcsin , = a -h 4 x
I — cos ma
Ces deux formules, données ici comme exemple, sont parfaitement adaptées au cas où le discriminant est positif et u réel.
Développement des inverses des fonctions ::'.
Les fonctions du Tableau (3o) contiennent deux arguments «, w Si Ton y remplace r par un multiple ou un sous-multiple de ii, chacune de ces fonctions ne contient plus qu'un seul argument, et elle se trouve développée de diverses manières suivant qu'on prend une des six formes des séries ci-dessus. Ces six formes, au fond, se ramènent à une seule, la forme en série à double indice.
Les plus intéressants de ces développements sont ceux qu'on obtient en supposant c z^zn u ou r = dz ^u.
Nous étudierons d'abord quatre d'entre eux, se ramenant à un seul, le développement de la fonction
On l'obtient en supposant r= — ^,ii dans lune quelconque des ([uatre fonctions dénotées, au Tableau (jo), comme il suit (la première devra être changée de signe) :
Pour qu'on se rende bien compte de la diversité des formes sous lesquelles un même développement peut apparaître, écrivons ici les séries que l'on obtient en supposant c = — -^u dans les développements analogues à celui qui est dénoté (lo). Pour abréger, nous emploierons encore les notations (43), que nous rappelons :
UT. /2 = 1 , 3 , 5 . . . ., il'). — I ), . . .. -^ y..
itO /» = 2, 4, O, . . . , 1\X, . . . , -^ zc.
D'abord le développement (lo) lui-même, en ayant égard à la
formule
cota — col- = -. — >
2 Slllrt
nous donne
r, II-
2 "> I XT^ «in (m — i ) a — <?'" sin ma
— ■25''" cosa -^- ^r^
Dans le même développement (lo), si Ton échange d'abord // et t', on oblienl
■2u> e^"* I V^ sin(!,/;? — 2)a — <7'"sin|/»a
' - 3' Il ?in(7 .^ I — -iq'" cos 7. a -,- g-'"
Les deux développements analogues de la fonction dénotée — donnent de même
20) e^w I ■^-^ s'm( 7}i — i)a -\- q"' s\nma
( j6 ) fil = — ■ : = — 4 > q'" ï 5
^■■^ -^ T. du sina ^A^^ i-i-2q"' cosa — q-^">
lit • / 1 \ ■„ • 1
V^, .-—1 sm(77/« — 2)a — <7'"sin,/?? (47) /i<= 4> — l)-^ or"' ^^= ^ T^—
Ceux (aS) et ('20) de la fonction dénotée — donnent encore
■^T^ «in( rt — i)a — q" sin lia
(48) fu= 4>'7" ^ ;; îtt- '
■^ ^ -^ \m^^ 1 — iq" cosa ^ q-"
-^y , — sin(|/?? — \)a — 7'" sin (4"»? -f- i)<7
^y ^ ^^ ^ \ —-iq'" cosi a ^ q-^'"
Enfin ceux de la fonction — f-> qui s'obtiennent en supposant K' =^ i^ô — r,u dans (20) et (29), donnent de même
■v^ sinf/i — \)a -^ q" s\nna
(50) fu^ — ^yqn \ 1 -,
^ ' -^ \^ \-^ iq" cosa -^ q-"
•sr\ — -1-1 / — ?in(J'n — \)a — q >" s\n {\ m -^ i) a 50 /"= 42(-0^ ^/'Z .-.q'n,oLa-^r-
Ces huit développements d'une même fonction se réduisent d'ailleurs bien simplement à deux seulement, dès qu'on y met en évidence la propriété
