CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQLES

Les deux séries (45) et (47) donnent ensemble la suivante :

.M^ I — 2 g-" cos'ia -+- q*'^

que l'on obtient également en ajoutant membre à membre les égalités (48) et (5o). De même les deux séries (49) et (5i) donnent celle-ci

qui s'obtient aussi par l'addition des égalités (44) et (4^>)-

Pour avoir la série à double indice, qui seule est fondamentale, prenons, par exemple, la formule (26), en v mettant /-= c~', ce qui correspond à r = — ^u. Nous avons ainsi

t .^EM

et /?, m désignent maintenant les nombres naturels i, y, 3, .... Mais cette série est susceptible de réduction si on l'envisage dans sa généralité: on peut vérifier aisément que les termes où les exposants de z sont pairs se détruisent deux à deux, comme l'exige la propriété (02). On doit donc donnera m seulement des valeurs paires, et reprenant la convention déjà admise [n impair et m pair), on aura plus simplement

fu — — 271

Envisageons les termes où l'exposant de z est un nombre impair positif N. Ceux qui proviennent de z"""^ auront pour coefficient — S^^'"+'"'. Ceux qui proviennent de z~"'^"' auront, au contraire, pour coefficient + 'ï^q^"'^"'. En supposant donc

P ^ I, 2, 3, 4, .. ., -h oc,

et tenant compte de ce que le changement de ^ eii t reproduil/w, changée de signe, on pourra écrire

(53) },fu=-;.^(-iyqyi'^P'-^z^-z-y),

Telle est la forme vraiment fondamentale du développement. Voici maintenant la plus simple des réductions en série ordinaire ; on l'obtient en sommant les termes où p a une n)ême ^aleur :

/it = — 2 y ( — I )/' rjv'-+r

1 I — a 7-/' cos r rj^P