TT II ■À M

Jacobi, en donnant, à la fin des Fundamenta tiova^ cette série, l'a mise encore sous une autre forme, cjui s'obtient par le calcul suivant :

4 sin"^ a '}. — 1 cos 1 a

I — iq'-l' cos 2 a -^ q'*P I — iq-P cos 2 et -+- q''l>

q^P q'-i'{i — iq^P cosia -T-q'P)

En multipliant les deux membres dans l'égalité précédente (o4) par sin ^—\ on a d'abord à mettre à part la série suivante

(—])Pq!''—P{i^ q-P)

il reste alors

•XM e^'^ .1111 "v^ .,,. 7^'~P(i-H q-''){i — q-''y-

I — 2 q'-l' COS r- q*P

(55) — sin— =- > -I /'-

Ces développements (54) et (55) méritent d'être comparés pour l'élégance à celui de la fonction .3r, elle-même; ils mettent tout aussi bien en vue les propriétés relatives à l'addition des périodes, les racines de la fonction, et ne le cèdent en rien pour la rapidité de la convergence, qui, au surplus, a évidemment lieu pour toutes les valeurs de u.

En changeant, dans (54) et (55), u en (^u -h (o), on a les déve-