CHAPITRE Xlll. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉHIES TRIGONOMÉTRIQL'ES

loppements de la fonction

lui

Il nous faut maintenant changer i/ en (w H- to') pour obtenir le développement de l'inverse de ^:( ii. Prenons la séi'ie (^S)

*"(")= ,'--i -^r-n/vy"

pour en déduire d'abord, en développant la première fraction,

après avoir mis zq'an lieu de r,

II 2 p -H ,

Il -^ OJ' ) = - ^CJ- Z"-i —y^( — l)P q

Séparons les termes où ;; a l'exposant zt-ro. Le coefficient total est, pour ces termes,

Les autres exposants de z- sont pairs; soit m l'un d'entre eux, positif. Le coefficient de z-"^ est égal à

m-hl (2p + l)(wi-l-1) / 1 \2 / 1\

-^(-i)Pg 2 =g,i2(__,),><

celui de 5 '" est le même, comme on le vérifie iminédiatemenl, et comme cela doit être eu égard à la parité de la fonction. D'autre part, nous avons, d'après (53),

r, II- 2 F ( i/ ) = .

i T. -i II doù résulte

voici Jonc le développement cherché

yj = I, 2, 3, . . . , -r- :c; /» = 9,, i) 6, ...,-+- a:.

Réunissant les termes on p est partout le même, on obtient

^ t: Li' a'3U ^^ ' ^ , , ~« „,„ n

I — 25r2/'-l COS H<72l2/>-l)

Si, dans cette formule (58), on change u en {^u H- w), on obtient alors le développement de la fonction

Développements à convergence rapide pour les fonctions de seconde espèce.

Dans les dernières séries (54 )> (55), (58), que nous venons de former, c'est un fait digne de remarque que la convergence ait lieu pour toutes les valeurs de la variable ii^ tandis que la série à double indice (53), d'où elles proviennent, converge seulement pour des valeurs limitées de cette variable, marquées par les inégalités (il). Nous avons déjà rencontré une circonstance analogue, sans la signaler toutefois : si nous comparons, en effet, les deux séries suivant lesquelles est développée la fonction Î^m, la série dénotée (3i) dans le présent Chapitre, et celle qui porte le même numéro (XII, 3i) dans le précédent, nous devons reconnaître que l'une et l'autre proviennent de deux groupements différents, effectués dans la série, à double indice,

;«— -! col — = -^ > q>"P{z'>'— --'"),

OJ 2 W 2 M l W ^^